课件46张PPT。第一章 常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词p∧q p且q 假命题真命题假命题p∨qp或q真命题非pp的否定假命题真命题含有逻辑联结词的命题结构 含逻辑联结词命题的真假判断 由复合命题的真假求参数的取值范围 点击右图进入…Thank you for watching !1.3 简单的逻辑联结词
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)
2.能够判断命题“p∧q”“p∨q”“?p”的真假．(难点)
3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
1.通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养.
2.借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．
(2)真假判断
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
2．“或”
(1)定义
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．
(2)真假判断
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？
(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？
[提示] (1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．
(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．
3．“非”
(1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作?p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)真假判断
若p是真命题，则?p必是假命题；若p是假命题，则?p必是真命题．
思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？
[提示] (1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．
(2)命题的否定(?p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．
4．复合命题
用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．
复合命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
?p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0
A [xy≠0?x≠0且y≠0，故选A.]
2．已知p，q是两个命题，若“(?p)∨q”是假命题，则( )
A．p，q都是假命题
B．p，q都是真命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p是真命题，q是假命题
D [若(?p)∨q为假命题，则?p，q都是假命题，即p真q假，故选D.]
3．已知p：{0}，q：{2}∈{1，2，3}．由它们构成的新命题“?p”“?q”“p∧q”“p∨q”中，真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [∵p真，q假，
∴?p假，?q真，p∨q真，p∧q假．]
4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．
p∨q 真 [5≥5，即5＞5或5＝5.]
含有逻辑联结词的命题结构
【例1】 指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)方程x2－3＝0没有有理根；
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解] (1)这个命题是“?p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p∧q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(3)这个命题是“p∨q”形式的命题，其中p：1是方程
x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．
2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．
1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
?p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
?p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.
含逻辑联结词命题的真假判断
【例2】 已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨(?q)．
则其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
思路探究：→
→
C [由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(?q)，(?p)∨(?q)是真命题，故选C.]
含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤
(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：
“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“?p”与p真假相对．
(2)判断复合命题真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“?p”；
②判断其中的简单命题p，q的真假；
③根据真值表判断复合命题的真假．
2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
C [由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③?q为真命题，则p∧(?q)为真命题，④?p为假命题，则(?p)∨q为假命题．]
(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的命题的真假．
①p：1∈{2，3}，q：2∈{2，3}；
②p：2是奇数，q：2是合数；
③p：4≥4，q：23不是偶数；
④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2
q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．
[解] ①∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，?p是真命题．
②∵p是假命题，q是假命题，
∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，?p是真命题．
③∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，?p是假命题．
④∵p是真命题，q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，?p是假命题.
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
[提示] p为假命题时，参数的取值范围是RA.
2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？
[提示] 当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B.
当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B.
【例3】 已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
思路探究：→→
[解] 当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，解得m>2，
当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－16<0，解得1因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则所以m≥3.
若p假q真，则所以1所以m的取值范围为(1，2]∪[3，＋∞)．
1．本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解] 由例题知，当p为真时， m>2，当q为真时11，
当p∧q为真命题时，22.本例题中，若命题p改为“关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q改为“函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R”．其他条件不变，试求a的取值范围．
[解] 根据关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R，则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题．
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．
故或解得01.
所以a的取值范围是∪(1，＋∞)．
根据命题的真假求参数范围的步骤
(1)求出p、q均为真时参数的取值范围；
(2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；
(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个至少选一个．
2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．
p∧q为真?p和q同时为真，
p∨q为真?p和q中至少一个为真．
3．若命题p为真，则“?p”为假；若p为假，则“?p”为真，类比集合知识，“?p”就相当于集合p在全集U中的补集Up.因此(?p)∧p为假，(?p)∨p为真．
4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．
1．若命题“p∧q”为假，且?p为假，则( )
A．p∨q为假 B．q假
C．q真 D．p假
B [由?p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.]
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D.]
3．已知命题：
p：对任意x∈R，总有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．?p∧?q
C．?p∧q D．p∧?q
D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之，当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、?p为假命题，?q为真命题，?p∧?q、?p∧q为假命题，p∧?q为真命题，故选D.]
4．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
[p为真时，2a－1<0，即a<，
q为真时，－≤1，即a≥－2，
则p∧q为真时，p，q都真，
所以－2≤a<.]
课时分层作业(四) 简单的逻辑联结词
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，共有3个，故选C.]
2．已知p：x∈A∩B，则?p是( )
A．x∈A且xB B．xA或xB
C．xA且xB D．x∈A∪B
B [x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故?p是xA或xB.]
3．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，?p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，?p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，?p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，?p为假
D [∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，?p为假，应选D.]
4．给出命题p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若<1，则x>1.那么在下列四个命题中，真命题是( )
A．(?p)∨q B．p∧q
C．(?p)∧(?q) D．(?p)∨(?q)
D [对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p为真．
对于q，当x<0时，不等式<1恒成立；当x>0时，不等式的解集为{x|x>1}．故不等式<1的解集为{x|x<0或x>1}．故命题q为假命题．
结合各选项知，只有(?p)∨(?q)为真．故选D.]
5．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，?q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，xZ}
B．{x|－1≤x≤3，xZ}
C．{x|x＜－1或x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
D [p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，?q同时为假命题知，p假q真，∴x满足－1＜x＜3且x∈Z，故满足条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．]
二、填空题
6．已知命题s：“函数y＝sin x是周期函数且是奇函数”，则
①命题s是“p∧q”形式的命题；
②命题s是真命题；
③命题?s：函数y＝sin x不是周期函数且不是奇函数；
④命题?s是假命题．
其中，叙述正确的是________(填序号)
①②④ [命题s是“p∧q”形式的命题，①正确；命题s是真命题，②正确；命题?s：函数y＝sin x不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题?s是假命题，④正确．]
7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(?q)”表示________．
甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [?q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(?q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]
8．已知命题p：{2}∈{1，2，3}，q：{2}?{1，2，3}．给出下列结论：①“p∨q”为真；②“p∨q”为假；③“p∧q”为真；④“p∧q”为假；⑤“?p”为真；⑥“?q”为假．其中正确结论的序号是________．
①④⑤⑥ [由题意知，p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“?p”为真，“?q”为假，故①④⑤⑥正确．]
三、解答题
9．已知命题p：1∈{x|x2(1)若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 若p为真命题，则1∈{x|x2故121；
若q为真命题，则2∈{x|x24.
(1)若“p∨q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p∧q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，?)表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
[解] (1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为?p∧?q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：
①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧?q；
②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为?p∧q.
所以命题t表示为(p∧?q)∨(?p∧q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.
法二：?u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是?r，从而命题u表示为?(?p∧?q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧?q)∨(?p∧q)∨(p∧q)．
[能力提升练]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(?p)∨(?q) B．p∨(?q)
C．(?p)∧(?q) D．p∨q
A [依题意，?p：“甲没有降落在指定范围”，?q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(?p)∨(?q)．]
2．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)
A [对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；
对于命题q：a∥b，b∥c，说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；
选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，?p是真命题，?q是假命题，所以(?p)∧(?q)是假命题，故C错误；选项D中，p∨(?q)是假命题，所以D错误．]
3．p：<0，q：x2－4x－5<0，若p∧q为假命题，则x的取值范围是________．
(－∞，－1]∪[3，＋∞) [p为真时，由<0得x<3，q为真时，由x2－4x－5<0得－14．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；
命题q：函数y＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－2] [p为真时，Δ＝4a2－16<0，即－2q为真时，5－2a>1，即a<2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p和q一真一假，即p真q假或p假q真，
所以或解得a≤－2.]
5．已知命题p：关于x的方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若p∨q与?q同时为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 若命题p为真，则
即解得a≤－1.
若命题q为真，则a＝0或解得0≤a<4.
因为p∨q与?q同时为真命题，所以p真且q假．
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
