课件46张PPT。第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词全称量词全称量词存在量词存在量词全称命题和特称命题的概念及真假判断 含有一个量词的命题的否定 由全称(特称)命题的真假确定参数的范围点击右图进入…Thank you for watching !1.4 全称量词与存在量词
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.
2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1.通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养.
2.借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”．
(2)是全称命题，可改写成：“x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定?p：x0∈M，?p(x0)；
特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定?p：x∈M，?p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1
C．2 D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
2．下列命题中特称命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数；
②x0∈R，log2x0＞0；
③有的向量方向不确定．
A．0 B．1
C．2 D．3
D [①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]
3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“?p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
[答案] C
4．下列四个命题中的真命题为( )
A．x0∈Z，1<4x0<3 B．x0∈Z，5x0＋1＝0
C．x∈R，x2－1＝0 D．x∈R，x2＋x＋2>0
D [当x∈R时，x2＋x＋2＝＋>0，故选D.]
全称命题和特称命题的概念及真假判断
【例1】 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)能被5整除的整数末位数是0；
(4)有一个角α，使sin α>1.
[解] (1)是全称命题，因为x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
(4)是特称命题，因为α∈R，sin α∈[－1，1]，所以该命题是假命题．
1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词；
(2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定特称命题“x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
(2)下列命题中，真命题是( )
A．x∈，sin x＋cos x≥2
B．x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C．x∈R，x2＋x＝－1
D．x∈，tan x>sin x
B [对于选项A，
sin x＋cos x＝sin≤，∴此命题不成立；
对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；
对于选项C，x2＋x＋1＝＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；
对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选B.]
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)命题“x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．xR，x2≠x
B．x∈R，x2＝x
C．xR，x2≠x
D．x∈R，x2＝x
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：x∈R，x2－x＋≥0；
②p：所有的正方形都是菱形；
③p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
思路探究：先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．
(1)D [原命题的否定为x∈R，x2＝x，故选D.]
(2)解：①?p：x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
②?p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
③?p：x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
2．(1)命题“x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．x0(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.]
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假．
①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
②q: 存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；
③r：等圆的面积相等，周长相等；
④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解] ①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是?p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以?p是真命题．
②这一命题的否定形式是?q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得?q是真命题．
③这一命题的否定形式是?r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知?r是假命题．
④这一命题的否定形式是?s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以?s是假命题.
由全称(特称)命题的真假确定参数的范围
[探究问题]
1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？
[提示] 先求?p，再求参数的取值范围．
2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？
[提示] 全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．
【例3】 (1)若命题p“x∈R，2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
(2)已知命题p：x∈R，9x－3x－a＝0，若命题p是真命题，求实数a的取值范围．
思路探究：(1)先求?p，再求参数的取值范围．
(2)令3x＝t，看作一元二次方程有解问题．
(1)－2，2 [?p：x∈R，2x2－3ax＋9≥0为真命题．
则Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2.]
(2)解：设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，
则9x－3x－a＝0?a＝(3x)2－3x?a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，
设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，
则f(t)＝－，当t＝时，f(t)min＝－，
则函数f(t)的值域是，
所以实数a的取值范围是.
1．若将本例题(2)条件“x∈R”，改为“x∈[0，1]”，其他条件不变，试求实数a的取值范围．
[解] 设3x＝t，x∈[0，1]，∴t∈[1，3]．
a＝t2－t，
∵t2－t＝－，∴a＝t2－t在t∈[1，3]上单调递增．
∴t2－t∈.
即a的取值范围是.
2.将本例题(2)换为“x∈，tan x≤m是真命题”，试求m的最小值．
[解] 由已知可得m≥tan x恒成立．设f(x)＝tan x，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f＝tan ＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
1．利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
2．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“＜”．
3．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.
1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )
A．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
B．偶函数图象关于y轴对称
C．m∈R，x2＋mx＋1＝0无解
D．x∈N，x3＞x2
D [A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题．]
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]
3．命题p：x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为?p：________．
特称命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0 [命题p：x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．
命题p的否定为：x∈R，x2＋2x＋5≥0.]
4．命题“x∈R，>0”的否定是________．
x0∈R，≤0 [“x∈R，>0”的否定是“x0∈R，<0或＝0”，即x0∈R，≤0.]
课时分层作业(五) 全称量词与存在量词
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
D [A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.]
2．下列命题为真命题的是( )
A．x∈R，cos x<2
B．x∈Z，log2(3x－1)<0
C．x>0，3x>3
D．x∈Q，方程x－2＝0有解
A [A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?
3．命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
C [原命题的否定为“x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.]
4．命题p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若?p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4] B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得04.]
5．已知命题p：x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧?q
C．?p∧q D．?p∧?q
B [∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴?p为假命题．
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2∴命题q为假命题，∴?q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧?q为真命题，?p∧q为假命题，?p∧?q为假命题．故选B.]
二、填空题
6．下列命题：
①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为________，是特称命题的为____________．
(填序号)
②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]
7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是____________________．
有些偶函数的图象关于y轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．]
8．已知命题：“x0∈[1，2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
[－8，＋∞) [当x∈[1，2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，∴3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，
∴a≥－8.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)x0，y0∈Z，3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.
(2)真命题．命题的否定为：x，y∈Z，3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
[解] 法一：由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1，2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：?p：x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升练]
1．已知命题p：对任意x∈R，都有cos x≤1，则命题p的否定为( )
A．存在x0∈R，使得cos x0≤1
B．对任意x∈R，都有cos x＞1
C．存在x0∈R，使得cos x0＞1
D．存在x0∈R，使得cos x0≥1
C [根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.]
2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．x∈R，f(x)≤f(x0)
B．x∈R，f(x)≥f(x0)
C．x∈R，f(x)≤f(x0)
D．x∈R，f(x)≥f(x0)
C [f(x)＝ax2＋bx＋c＝a＋(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．]
3．命题“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为________．
n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)>n0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)>n0”．]
4．命题p：x0∈[0，π]，使sin [0≤x≤π，则≤x＋≤，所以－≤sin≤1；而命题p：x∈[0，π]，使sin－.]
5．已知命题p：x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：x0∈R，ax－2ax0－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围．
[解] 因为命题p是假命题，
所以命题?p：x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0是真命题，则(a－1)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
因为命题q：x0∈R，ax－2ax0－3>0是真命题．
所以当a＝0时，－3<0，不满足题意；
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3.
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x0，故a<－3或a>0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
