课件31张PPT。第一章 常用逻辑用语章末复习课四种命题的关系及其真假判断 充分条件、必要条件与充要条件 含逻辑联结词的命题 全称命题与特称命题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中是命题的为( )
①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？
③3＋1＝5；④x∈R，5x－3>6.
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
D [①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]
2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )
A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等
B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形
C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形
D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形
C [将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C.]
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.]
4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]
5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B．x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C．x∈R，使得f(x)＞0成立
D．x∈R，f(x)≤0成立
A [“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.]
6．若命题?(p∨(?q))为真命题，则p，q的真假情况为( )
A．p真，q真 B．p真，q假
C．p假，q真 D．p假，q假
C [由?(p∨(?q))为真命题知，p∨(?q)为假命题，从而p与?q都是假命题，故p假q真．]
7．已知命题p：x>0，总有(x＋1)ex>1，则?p为( )
A．x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B [因为全称命题x∈M，p(x)的否定为x0∈M，?p(x)，故?p：x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.]
8．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．?p B．?p∨q
C．?q∧p D．q
C [很明显命题p为真命题，所以?p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以?q是真命题．所以?p∨q为假命题，?q∧p为真命题，故选C.]
9．条件p：x≤1，且?p是q的充分不必要条件，则q可以是( )
A．x>1 B．x>0
C．x≤2 D．－1
B [∵p：x≤1，∴?p：x>1，
又∵?p是q的充分不必要条件，
∴?p?q，q推不出?p，即?p是q的真子集．]
10．下列各组命题中，满足“p∨q”为真，且“?p”为真的是( )
A．p：0＝；q：0∈
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0，1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条
C [A中，p、q均为假命题，故“p∨q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p为真，从而“?p”为假，排除B；C中，p为假，从而“?p”为真，q为真，从而“p∨q”为真；D中，p为真，故“?p”为假，排除D.故选C.]
11．已知p：x∈R，mx2＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，2]
A [由题意知p，q均为假命题，则?p，?q为真命题．
?p：x∈R，mx2＋1>0，故m≥0，?q：x∈R，x2＋mx＋1≤0，
则Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2，
由得m≥2.故选A.]
12．设a，b∈R，则“2a＋2b＝2a＋b”是“a＋b≥2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [利用基本不等式，知2a＋b＝2a＋2b≥2，化简得2a＋b≥22，所以a＋b≥2，故充分性成立；当a＝0，b＝2时，a＋b＝2，2a＋2b＝20＋22＝5，2a＋b＝22＝4，即2a＋2b≠2a＋b，故必要性不成立．故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是________．
若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0 [“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”即为：“若x2＋x－6>0，则x<－3或x>2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0.]
14．写出命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为________．
若x2≠4，则x≠2且x≠－2 [命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”．]
15．若命题“t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1] [命题“t∈R，t2－2t－a<0”是假命题．
则t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．]
16．已知p：－40，若?p是?q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[－1，6] [p：－40?2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
[解] “若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)
逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题)
否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)
逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r：x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋3＝0.
[解] (1)?q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．
(2)?r：x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(3)?s：x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
[解] (1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
则只要－≤－1，即m≥2，
故存在实数m≥2，
使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
则这是不可能的，
故不存在实数m使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．
20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－33>0，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解] 解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x>11或x<－3}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q但qp，说明AB.
于是有或解得0所以正实数a的取值范围是(0，4]．
21．(本小题满分12分)证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1.
[证明] (充分性)若a＝1，则函数化为f(x)＝(x∈R)．因为f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
(必要性)若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
所以＝－，
所以＝－，
所以a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，
所以2(a－1)(2x＋1)＝0，解得a＝1.
综上所述，函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1.
22．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若p∨q为真，q为假，求实数m的取值范围．
[解] 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.
∴命题p为真时，m>2或m<－2；命题p为假时，－2≤m≤2.
由不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R，得方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m－2)2－16<0，解得1∴命题q为真时，1∵p∨q为真，q为假，∴p真q假，
∴解得m<－2或m≥3.
∴实数m的取值范围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．
四种命题的关系及其真假判断
【例1】 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．
(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．
[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：
逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)
否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)
逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)
1．在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．
2．“p∧q”的否定是“?p∨?q”，“p∨q”的否定是“?p∧?q”．
1．(1)给出下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.]
(2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
D [命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D.]
充分条件、必要条件与充要条件
【例2】 (1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__________．
(1)A (2)3 [(1)由acos A＝bcos B?sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A.
(2)由＝≠，
得a＝－1(舍去)，a＝3.]
充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断，针对具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．判断时要注意以下两个方面：
(1)注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性
从命题的角度判断充分、必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并指明条件是结论的哪种条件，否则会混淆二者的关系，造成错误．
(2)注意转化命题判断，培养思维的灵活性
由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此，对于那些具有否定性的命题，可先转化为它的逆否命题，再进行判断，这种“正难则反”的等价转化思想，应认真领会．
2．(1)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1
C [依题意，A，B，C三点共线?＝λ?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?故选C.]
(2)设p：m＋nZ，q：mZ或nZ，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [?p：m＋n∈Z，?q：m∈Z且n∈Z，显然?p?q，?q??p，即p?q，qp，p是q的充分不必要条件．]
含逻辑联结词的命题
【例3】 (1)短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(?q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
(2)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A．p∧q B．p∧(?q)
C．(?p)∧(?q) D．(?p)∧q
(1)D (2)D [(1)(?q)∧r是真命题意味着?q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.
(2)命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题．故(?p)∧q是真命题．故选D.]
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
2.判断命题真假的步骤：
3．(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．?q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
C [函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；直线x＝不是y＝cos x的图象的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假，故选C.]
(2)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n?α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q B．?p∨q
C．?p∧q D．p∧q
B [命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n?α，则m∥α也为假命题，因此只有?p∨q为真命题．]
全称命题与特称命题
【例4】 (1)已知命题p：“x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[e，4] B．[1，4]
C．(4，＋∞) D．(－∞，1]
(2)命题p：x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定?p是________．
思路探究：(1)p∧q为真?p，q都为真．(2)由?p的定义写?p.
(1)A (2)x0∈R，f(x0)∴e≤a≤4.
(2)全称命题的否定是特称命题，所以“x∈R，f(x)≥m”的否定是“x0∈R，f(x0)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可．
要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使p(x0)成立即可，否则这一特称命题为假命题．
4．(1)命题p：x<0，x2≥2x，则命题?p为( )
A．x0<0，x≥2x0 B．x0≥0，x<2x0
C．x0<0，x<2x0 D．x0≥0，x≥2x0
C [?p：x0<0，x<2x0，故选C.]
(2)在下列四个命题中，真命题的个数是( )
①x∈R，x2＋x＋3＞0；
②x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
A．1 B．2
C．3 D．4
D [①中，x2＋x＋3＝＋≥＞0，故①为真命题；
②中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②也为真命题；
③中，当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；
④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．]
