课件44张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程这个方程的解曲线的方程曲线上的点曲线与方程的概念 用直接法(定义法)求曲线方程 代入法求轨迹方程 点击右图进入…Thank you for watching !
2.1 曲线与方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.
2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)
3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)
1.通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养.
2.借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养.
1．曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] (1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.
2．求曲线方程的步骤
1．下列结论正确的个数为 ( )
(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；
(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1，0)，C(－1，0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.
A．1 B．2
C．3 D．4
A [(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]
2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
B [将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]
3．方程x2＋xy＝x的曲线是( )
A．一个点 B．一个点和一条直线
C．一条直线 D．两条直线
D [方程可化为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.因此方程的曲线是两条直线．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1，2)与动点P(x，y)满足·＝3，则点P的轨迹方程为________．
x－2y＋3＝0 [由题意＝(x，y)，＝(－1，2)，则·＝－x＋2y.由·＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0.]
曲线与方程的概念
【例1】 (1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是 ( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①过点A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
(1)B [根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．]
(2)解：①过点A(2，0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2，0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2，0)平行于y轴的直线的方程．
②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0
B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
C [根据曲线的方程的定义知，选C.]
(2)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
①判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
②若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值．
[解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
②因为点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
所以x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－.
故实数m的值为2或－.
用直接法(定义法)求曲线方程
[探究问题]
1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？
[提示] 只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？
[提示] 根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．
【例2】 在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．
思路探究：以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．
法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．
[解] 法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，
过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A(－a，0)，B(a，0)，设动点C为(x，y)．
由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以()2＋()2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.
由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.
所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．
因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
1．若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．”如何求解？
[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
2.若本例题改为“已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程”．如何求解？
[解] 如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为.
∵∠OPC＝90°，
∴动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上，
由圆的方程得＋y2＝(01．直接法求曲线方程
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
2．定义法求曲线方程
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．
代入法求轨迹方程
【例3】 已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
[解] 设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，
则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4.
所以，动点Q的轨迹方程是＋＝1.
代入法求轨迹方程的步骤
(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；
(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．
2．已知△ABC，A(－2，0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解] 设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得
∴
代入y1＝3x－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．
4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
1．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为( )
A．0 B．1 C．－1或0 D．0或1
D [由题意知m－m2＝0，解得m＝0或m＝1，故选D.]
2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
C [当x＞0时，方程为xy＝1，
∴y＞0，故在第一象限有一支图象；
当x＜0时，方程为－xy＝1，
∴y＞0，故在第二象限有一支图象．]
3．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是( )
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
B [由题意知|AC|＝|BC|，则顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(除去线段AB的中点)，故选B.]
4．动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－，求动点M的轨迹方程．
[解] 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．
设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA＝，kMB＝(x≠±a)．
∵kMA·kMB＝－，
∴·＝－，
化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
课时分层作业(六) 曲线与方程
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的必要不充分条件，故选B.]
2．方程y＝－表示的曲线是( )
A．一个圆 B．一条射线
C．半个圆 D．一条直线
C [方程y＝－可化为x2＋y2＝3(y≤0)，故选C.]
3．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2－3y2＝4
B．x2＋3y2＝4
C．x2－3y2＝4(x≠±1)
D．x2＋3y2＝4(x≠±1)
D [由点B与点A(－1，1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得kAP·kBP＝·＝－(x≠±1)，化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．]
4．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )
A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y－5＝0
C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0
D [设P(x0，y0)，则x0－2y0＋3＝0 (*)．又设Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则即(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，即x－2y＋7＝0.故选D.]
5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
D [如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝
＝.
即|PM|2＝2，
∴(x－1)2＋y2＝2.]
二、填空题
6．方程(x－1)2＋＝0表示的是________．
点(1，2) [由题意知，即
所以方程(x－1)2＋＝0表示点(1，2)．]
7．设命题甲：点P的坐标适合方程f(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合f(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．
充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线的一部分，则丙?丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]
8．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
y2＝4x [由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.]
三、解答题
9．已知A(0，4)，点B是曲线2x2＋1－y＝0上任意一点，且M是线段AB的中点，求动点M的轨迹方程．
[解] 设B(x1，y1)，M(x，y)，由M是线段AB的中点，得∴
又点B在曲线2x2＋1－y＝0上，
∴2x＋1－y1＝0，∴2×(2x)2＋1－(2y－4)＝0，
即8x2－2y＋5＝0，
∴动点M的轨迹方程是8x2－2y＋5＝0.
10．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
[解] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
得O1(－2，0)，O2(2，0)．
连接PO1，O1M，PO2，O2N.
由已知|PM|＝|PN|，得
|PM|2＝2|PN|2，
又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，
在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，
即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
化简得(x－6)2＋y2＝33.
因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
[能力提升练]
1．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是( )
A．前后两者都是一条直线和一个圆
B．前后两者都是两个点
C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆
C [x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0??表示点(0，1)，(0，－1)．]
2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
A [设A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．]
3．已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为________．
x2＋y2＝9 [作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知
|OM|＝|AB|＝3.
所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，
故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.]
4．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
4π [设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π·22＝4π.]
5．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[解] 法一：如图，设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，
∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM(如图)．
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．
