课件57张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质－a≤x≤a且－b≤y≤b坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b2aF1(－c，0)，F2(c，0) 2c 离心率 (0，1)越扁0根据椭圆的方程研究其几何性质 利用几何性质求椭圆的标准方程 求椭圆的离心率 点击右图进入…Thank you for watching !课件64张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用两>一＝无<直线与椭圆的位置关系 弦长及中点弦问题 与椭圆有关的综合问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)
2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)
1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养.
2.借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
2.离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
(2)性质：离心率e的范围是(0，1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：(1)离心率e能否用表示？
(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？
[提示] (1)e2＝＝＝1－，所以e＝.
(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1，0)，(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
D [椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8
C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
B [椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故选B.]
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．5 D．4
A [由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.]
4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．
＋＝1 [由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆方程是＋＝1.]
根据椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4，2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解] (1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④离心率：e＝.
利用几何性质求椭圆的标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．
(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．
法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，a设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
B [由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.]
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
＋＝1或＋＝1 [因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.]
求椭圆的离心率
[探究问题]
1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？
[提示] 如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
∵OP∥AB，
∴△PFO∽△BOA，
∴＝， ①
又P(－c，m)在椭圆上，
∴＋＝1. ②
将①代入②，得＝1，
即e2＝，∴e＝.
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，
A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
[提示] 由A(－a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝，
故AB所在的直线方程为y－b＝x，
即bx－ay＋ab＝0.
又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝，
∴·(a－c)＝.
又b2＝a2－c2，
整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，
即8－14＋5＝0.
∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝.
【例3】 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________．
思路探究：△ABF2为正三角形?∠AF2F1＝30°?
把|AF1|，|AF2|用c表示．
[不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义，
可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，
所以e＝＝＝.]
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
3．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )
A.－1 B．2－ C.－1 D．2－
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
(1)A (2)－1 [(1)如图，设F(c，0)，由△OAF是等边三角形，
得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1 ①，在椭圆中有a2＝b2＋c2 ②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1.
(2)法一：如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，
∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
法二：注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1.]
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等．
4．椭圆的对称性(椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形)是椭圆的几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解．
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝15，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
D [由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
B [由题意得：2b＝a＋c，
∴4b2＝(a＋c)2，又∵a2＝b2＋c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，
即3a2－2ac－5c2＝0，
∴3－2·－5·＝0，
即5·＋2·－3＝0，∴e＝＝.]
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
[由题意知0所以m＝.]
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
[解] 由题意知
解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的方程为＋x2＝1.
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养.
2.通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1．
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
C [联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．]
2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( )
A．2 B．±
C．±2 D．±2
C [由消去y并整理得
2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.
∴m＝±2.]
3．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(－，) [∵点A在椭圆内部，
∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.]
4．如果椭圆＋＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．
－ [设此弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，
两式相减，得＋＝0，
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
∴＝－，
即此弦所在直线斜率为－.]
直线与椭圆的位置关系
【例1】 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
思路探究：―→―→
―→
[解] 联立方程组
将①代入②得：＋(x＋m)2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B．－ C．± D．±
C [由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
解得k＝±.]
(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．
[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0故m∈.]
弦长及中点弦问题
【例2】 过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
法二：点差法．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
[解] (1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·
＝·＝2.
1．直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝
＝
＝·
＝
＝·(k为直线斜率)．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
2．(1)已知点P(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．
x＋2y－8＝0 [由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－.所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.]
(2)已知点P(4，2)是直线l：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．
[设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得＋＝0，
即＝－.
因为kAB＝－，AB中点为(x0，y0)，x0＝4，y0＝2，
所以－＝－2，即a2＝4b2.
所以该椭圆的离心率为e＝＝.]
(3)已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
①试求动点P的轨迹方程C；
②设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．
[解] ①设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB＝－.
∴·＝－，
化简整理得＋y2＝1.
故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．
②设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.
|MN|＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，
解得k2＝1或k2＝－2(舍)．
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
与椭圆有关的综合问题
[探究问题]
1．直线y＝kx＋1表示过点(0，1)且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x＝ky＋1表示什么样的直线？
[提示] 直线x＝ky＋1，表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0.
2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？
[提示] (1)设AB的中点为P，则|OP|＝|AB|.
(2)·＝0.
【例3】 如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．
(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d法二：只需判断·的符号，若·＝0，则点G在圆上；若·>0，则点G在圆外；若·<0，则点G在圆内．
[解] (1)由已知得，
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点为H(x0，y0)．
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而y0＝.
所以|GH|2＝＋y＝＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，
所以|GH|>.
故点G在以线段AB为直径的圆外．
法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，＝.
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而·＝＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝>0，
所以cos〈，〉>0.又，不共线，所以∠AGB为锐角．故点G在以线段AB为直径的圆外．
解决与椭圆有关的综合问题的思路
直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
[解] (1)由题意设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，
由c＝，a2＝b2＋c2，
代入方程＋＝1，
又∵椭圆过点，
得＋＝1，
解得b2＝1，∴a2＝4.
椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和曲线C的方程可得
得(k2＋4)y2－ky－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，
y1y2＝－，y1＋y2＝，
则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，
即可得∠MAN＝.
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.
1．已知点(2，3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2，3)在椭圆外
B．点(3，2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内
D．点(2，－3)在椭圆上
D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.]
2．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
[由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝＝.]
3．已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
x＋2y－3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，
则＋＝1①，＋＝1②，
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，
∴k＝＝－.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.]
4．焦点分别为(0，5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．
[解] 设＋＝1(a>b>0)．
依题意，有a2－b2＝(5)2＝50.①
由
消去y并整理，得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
因为＝，
所以＝.
所以a2＝3b2.②
由①②，得a2＝75，b2＝25.
经检验，此时Δ>0.
所以椭圆方程为＋＝1.
课时分层作业(八) 椭圆的简单几何性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A [由题意知解得
因此所求椭圆的方程为＋＝1.]
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
D [由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0 解得e＝，因为05．如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝( )
A．35 B．30
C．25 D．20
A [设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为________________．
＋＝1 [设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
因此所求椭圆方程为＋＝1.]
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
[1，2] [因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
三、解答题
9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
[解] 不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2，0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
[解] (1)因为a＝2，c＝，所以b＝＝1.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得所以
又因为＋y＝1，所以＋＝1，即为中点M的轨迹方程．
[能力提升练]
1．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
B [由于PF⊥x轴，
则令x＝－c，代入椭圆方程，解得，
y2＝b2＝，y＝±，
又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，
即有4(a2－c2)＝a2＋ac，
即有(3a－4c)(a＋c)＝0，
则e＝＝，故选B.]
2．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0，3) B.
C．(0，3)∪ D．(0，2)
C [当k＞4时，c2＝k－4，由条件知＜＜1，解得k＞；当0＜k＜4时，c2＝4－k，由条件知＜＜1，解得0＜k＜3，综上知选C.]
3．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，则|PA|的最小值为________．
2 [设P(x，y)，则
|PA|＝＝，
因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，
所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，
则|PA|＝
＝，
因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.]
5．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
[解] (1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.
课时分层作业(九) 椭圆的标准方程及性质的应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
B [由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)
B [由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.
综上可知，m>1且m≠3，故选B.]
3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
A [设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OMPF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3，0)，由＋＝1得y2＝，解得y＝±，从而M的纵坐标为±.]
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
A [联立方程组可得
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.]
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
A [设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，
∴右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.]
二、填空题
6．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．
[结合条件利用椭圆的性质建立关于a，b，c的方程求解．
如图所示，由题意得
A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．
由PF⊥x轴得P.
设E(0，m)，
又PF∥OE，得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.]
7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.]
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[解] (1)联立方程组消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[解] (1)由题意得
解得c＝，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|
＝
＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d
＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升练]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
D [由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.
故选D.]
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D.]
3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|
＝4－＝.]
4．已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填序号)
①y＝3x－2；②y＝3x＋1；③y＝－3x－2；④y＝－3x＋2；⑤y＝－3x.
①③④ [椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故应填①③④.]
5．设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
[解] (1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
