课件47张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程两焦点间的距离差的绝对值两个定点a2＋b2(－c，0)(c，0)(0，－c)(0，c)双曲线的定义及应用 求双曲线的标准方程 与双曲线有关的轨迹问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)
2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养.
2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
D [由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.]
2．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
D [c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
C [b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]
4．与双曲线－＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．
－＝1 [与－＝1具有相同焦点的双曲线方程为－＝1(－8＜k＜10)．]
双曲线的定义及应用
【例1】 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
思路探究：(1)直接利用定义求解．
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
[解] (1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.
解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.
(2)由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
1．(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]
(2)已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.]
求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
思路探究：(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2，b2的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解．
2．(1)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
C [设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得解得
所以所求双曲线方程为－y2＝1.]
(2)已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以PF1＝＝＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，选B.]
与双曲线有关的轨迹问题
[探究问题]
1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？
[提示] 一支．
2．求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？
[提示] 以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系．
【例3】 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
思路探究：→→→
[解] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解.
1．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．]
2．若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
B [由题意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝±6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．]
3．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
16 [由点F(0，5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.]
4．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[解] 因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
课时分层作业(十) 双曲线及其标准方程
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
D [由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
A．－3B．k<－3
C．k<－3或k>－2
D．k>－2
A [由题意知解得－33．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
C [由
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.]
4．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
B [由题意知
即
且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.]
5．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，
P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B.]
二、填空题
6．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________．
24 [双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.由题意，知|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.]
7．以椭圆＋＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
－＝1 [由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
8．一动圆过定点A(－4，0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
－＝1(x≤－2) [设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．]
三、解答题
9．如图所示，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
[解] 法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2，2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有
解得a2＝b2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升练]
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
B [由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ＞0，－cos θ＞0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B.]
2．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．10 C．8 D．6
B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，由题意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S△PMF1＝S△PMF2＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S△MF1F2＝·2c·R＝10，故选B.]
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．
－1 [设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又
|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.]
4．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．
(－1，3) [由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m25．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)．
[解] 以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)．
设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020)．
设P(x，y)为巨响产生点，
由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，
故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x.
∵点B比点A晚4 s听到巨响声，
∴|PB|－|PA|＝340×4＝1 360.
由双曲线的定义，知点P(x，y)在以A，B为焦点的双曲线－＝1的左支上，∴x<0.
依题意，得a＝680，c＝1 020，
∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，
故双曲线的方程为－＝1.
将y＝－x代入上式，得x＝－680或x＝680(舍去)，
∴y＝680，
即P(－680，680)，故|PO|＝680.
∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心680m处．
