课件60张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质y≤-a或y≥ax≥a或x≤-a坐标轴原点2a2b实轴和虚轴等长对称中心根据双曲线方程研究几何性质 利用几何性质求双曲线方程 求双曲线的离心率 直线与双曲线的位置关系 点击右图进入…Thank you for watching !2.3.2 双曲线的简单几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握双曲线的简单几何性质.(重点)
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.(难点)
1.通过学习双曲线的几何性质,培养学生的直观想象、数学运算核心素养.
2.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用,提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.
1.双曲线的几何性质
标准方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a
y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点
(-a,0),(a,0)
(0,-a),(0,a)
轴长
实轴长=2a,虚轴长=2b
离心率
e=>1
渐近线
y=±x
y=±x
思考:(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗?
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系?
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条,但它们实轴与虚轴的长的比值相同.
(2)e2==1+,是渐近线的斜率或其倒数.
2.双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其离心率e=.
1.双曲线-y2=1的顶点坐标是( )
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
B [由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).]
2.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D [方程9y2-m2x2=1(m>0)可化为-=1(m>0),则a=,b=,取顶点,一条渐近线为mx-3y=0,所以=,则m2+9=25.
∵m>0,∴m=4.]
3.若双曲线-=1(m>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点坐标是________.
(-,0),(,0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x,∴m=3,求得双曲线方程为-=1,从而得到焦点坐标为(-,0),(,0).]
4.已知点(2,3)在双曲线C:-=1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为________.
2 [由题意知-=1,c2=a2+b2=4,得a=1,b=,∴e=2.]
根据双曲线方程研究几何性质
【例1】 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,2),过点(0,-2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为,则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
(2)求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
(1)A [双曲线C的渐近线方程为y=±x,则点(0,-2)到渐近线bx-ay=0(或bx+ay=0)的距离d===,得c=3a,即b=2a.由双曲线C过点(,2),可得-=1,解得a=1,故双曲线C的实轴长为2a=2.]
(2)把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),
化为标准方程-=1(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a=,
虚半轴长b=,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e===.
顶点坐标为(-,0),(,0).
所以渐近线的方程为y=±x=±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.
提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.
1.(1)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-x2=1 D.y2-=1
C [A、B选项中双曲线的焦点在x轴上,可排除;C、D选项中双曲线的焦点在y轴上,令-x2=0,得y=±2x;令y2-=0,得y=±x.故选C.]
(2)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
B [在双曲线中,离心率e===,可得=,故所求的双曲线的渐近线方程是y=±x.]
利用几何性质求双曲线方程
【例2】 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3)的双曲线方程为_________.
思路探究:(1)△OAF是边长为2的等边三角形?求c和点A的坐标?渐近线的斜率?求a,b.
(2)法一:分焦点在x轴和y轴上两种情况求解.
法二:待定系数法求解.
(1)D (2)-=1 [(1)不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-=1,故选D.
(2)法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,
若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为:
-=1(a>0,b>0),则=.①
因为点A(2,-3)在双曲线上,所以-=1.②
联立①②,无解.
若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为
-=1(a>0,b>0),则=.③
因为点A(2,-3)在双曲线上,所以-=1.④
联立③④,解得a2=8,b2=32.
故所求双曲线的标准方程为-=1.
法二:由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为-y2=λ(λ≠0).
因为点A(2,-3)在双曲线上,
所以-(-3)2=λ,即λ=-8.
故所求双曲线的标准方程为-=1.]
1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法:
一是设法确定基本量a,b,c,从而求出双曲线方程;二是采用待定系数法.首先依据焦点的位置设出标准方程的形式,再由题目条件确定参数的值.当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,防止漏解.为了避免讨论,也可设方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求解.
2.常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y=±x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).
(2)与双曲线-=1或-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ或-=λ(λ≠0).
(3)与双曲线-=1(a>0,b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为-=λ(λ>0)或-=λ(λ>0),这是因为离心率不能确定焦点位置.
2.求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2);
(2)与双曲线-=1具有相同的渐近线,且过点M(3,-2);
(3)过点(2,0),与双曲线-=1离心率相等.
[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32.
因此所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).
由点M(3,-2)在双曲线上得-=λ,得λ=-2.
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为-=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1;
当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为-=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去).
综上可知,所求双曲线的标准方程为-y2=1.
求双曲线的离心率
【例3】 (1)若双曲线 -=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2
C. D.
思路探究:(1)渐近线经过点(3,-4)?渐近线的斜率?离心率.
(2)由已知条件画图?点M的坐标?代入双曲线方程.
(1)D (2)D [(1)由题意知=,则e2=1+=,
所以e=.
(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,AB=BM=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x轴于H,则∠MBH=60°,BH=a,MH=a,所以M(2a,a).将点M的坐标代入双曲线方程-=1,得a=b,所以e=.故选D.]
求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c,则直接利用e=得解.
(2)若已知a,b,可直接利用e=得解.
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
3.(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
[答案] A
(2)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为________.
2+ [如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入-=1中,得y2=3b2,
不妨令点P的坐标为(2a,-b),
此时kPF2==,
得到c=(2+)a,
即双曲线C的离心率e==2+.]
直线与双曲线的位置关系
[探究问题]
1.直线和双曲线只有一个公共点,那么直线和双曲线一定相切吗?
[提示] 可能相切,也可能相交,当直线和渐近线平行时,直线和双曲线相交且只有一个交点.
2.过点(0,2)和双曲线-=1只有一个公共点的直线有几条?
[提示] 四条,其中两条切线,两条和渐近线平行的直线.
【例4】 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
思路探究:直线方程与双曲线方程联立方程组?判断“Δ”与“0”的关系?直线与双曲线的位置关系.
[解] (1)联立方程组
消去y并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
则
解得-<k<,且k≠±1.
∴若l与C有两个不同交点,实数k的取值范围为
(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
对于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=-,
x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|
=·=.
又∵点O(0,0)到直线y=kx-1的距离d=,
∴S△AOB=·|AB|·d==,
即2k4-3k2=0,解得k=0或k=±.
∴实数k的值为±或0.
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考察方程的判别式.
①Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
②Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
③Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
提醒:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.
4.已知双曲线-y2=1,求过点A (3,-1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
[解] 法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为y+1=k(x-3),即y=kx-3k-1,
由消去y,
整理得(1-4k2)x2+8k(3k+1)x-36k2-24k-8=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
∴x1+x2=.
∵A(3,-1)为MN的中点,
∴=3,即=3,解得k=-.
当k=-时,满足Δ>0,符合题意,
∴所求直线MN的方程为y=-x+,
即3x+4y-5=0.
法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),∵M,N均在双曲线上,
∴
两式相减,得=y-y,
∴=.
∵点A平分弦MN,∴x1+x2=6,y1+y2=-2.
∴kMN===-.
经验证,该直线MN存在.
∴所求直线MN的方程为y+1=-(x-3),
即3x+4y-5=0.
1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切,把双曲线的标准方程-=1(a>0,b>0)右边的常数1换为0,就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by=0变为a2x2-b2y2=λ(λ≠0),再结合其他条件求得λ,可得双曲线方程.
2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形.
1.双曲线-=1的渐近线方程是( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
C [双曲线的焦点在x轴上,且a=2,b=3,因此渐近线方程为y=±x.]
2.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( )
A.2 B.
C. D.1
D [由题意得e==2,∴=2a,
∴a2+3=4a2,∴a2=1,∴a=1.]
3.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为________.
-=1 [椭圆4x2+y2=64,即+=1,焦点为(0,±4),离心率为,则双曲线的焦点在y轴上,c=4,e=,从而a=6,b2=12,故所求双曲线的方程为y2-3x2=36.即-=1.]
4.求中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,经过点(3,-2),且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程.
[解] 渐近线方程为y=±x,设双曲线方程为x2-3y2=λ.将(3,-2)代入求得λ=-3,所以双曲线方程为y2-=1.
课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质
(建议用时:60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
C [由题意知a2+5=9,解得a=2,故e=.]
2.已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
B [因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条,故选B.]
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距等于( )
A.2 B.2
C.4 D.4
C [由已知得e==2,所以a=c,故b==c,从而双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,由焦点到渐近线的距离为,得c=,解得c=2,故2c=4,故选C.]
4.若实数k满足0A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
D [若00,16-k>0,故方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=;同理方程-=1也表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=.可知两曲线的焦距相等,故选D.]
5.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,且直线l过(a,0)和(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.2
D [直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0,原点到直线l的距离d===c,
即ab=c2,所以a2(c2-a2)=c4.
整理得3e4-16e2+16=0,解得e2=4或e2=,
又b>a>0,所以e2=1+>2,故e=2.]
二、填空题
6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线方程为________.
-y2=1 [由题意可得解得
故所求双曲线方程为-y2=1.]
7.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是________.
(1,) [e2=1+,由a>1得1所以18.若直线x=2与双曲线x2-=1(b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,且△AOB的面积为8,则焦距为________.
2 [双曲线的渐近线方程为y=±bx,则A(2,2b),B(2,-2b),|AB|=4b,从而S△AOB=×4b×2=8.
解得b=2,所以c2=5,从而焦距为2.]
三、解答题
9.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,求双曲线的标准方程和离心率.
[解] 由椭圆+=1,知c2=64-16=48,且焦点在y轴上,
∵双曲线的一条渐近线为y=x,
∴设双曲线方程为-=1.
又c2=2a2=48,∴a2=24.
∴所求双曲线的方程为-=1.
由a2=24,c2=48,
得e2==2,
又e>0,∴e=.
10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·>2,其中O为原点,求k的取值范围.
[解] (1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由已知得a=,c=2.
又因为a2+b2=c2,所以b2=1,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1中,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0,
由直线l与双曲线交于不同的两点得:
即k2≠且k2<1.①
设A(xA,yA),B(xB,yB),
则xA+xB=,xAxB=,
由·>2得xAxB+yAyB>2,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)
=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2
=(k2+1)·++2=,
于是>2,解此不等式得由①②得故k的取值范围是∪.
[能力提升练]
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与曲线C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
A [曲线C的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A.]
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
C [法一:因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A,B,取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1==,d2==,因为d1+d2=6,所以+=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为-=1,故选C.
法二:由d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为-=1,故选C.]
3.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过点F作x轴的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为________.
±1 [不妨设点B在第一象限,则A1(-a,0),B,A2(a,0),C,所以=,=.因为A1B⊥A2C,所以·=0,所以c2-a2-=0,整理得,=1,即=1,所以渐近线的斜率为±1.]
4.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是________.
±1 [由消去y得x2-2mx-m2-2=0.则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.]
5.直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.
(1)求线段AB的长;
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?
[解] 由得(3-a2)x2-2ax-2=0.
由题意可得3-a2≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
(1)|AB|=
=
=
=.
(2)由题意知,OA⊥OB,则·=0,
即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.
即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,
∴(1+a2)·+a·+1=0,解得a=±1.
经检验a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.