课件47张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程准线抛物线焦点求抛物线的标准方程 抛物线的定义的应用 抛物线的实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1.通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养.
2.通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养.
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？
[提示] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2，0) B．(－2，0)
C．(4，0) D．(－4，0)
B [抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2，0)．]
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
C [由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]
3．抛物线x＝4y2的准线方程是( )
A．y＝ B．y＝－1
C．x＝－ D．x＝
C [由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
±4 [由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.]
求抛物线的标准方程
【例1】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
思路探究：(1)(2)→→
(3)→→
(4)→→
[解] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系．
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．
(3)注意p与的几何意义．
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
[答案] D
抛物线的定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标；
(3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程．
(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．
[解] (1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2，由m2＝24得m＝±2.
(2)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|
＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|
＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，
∴P(1，2)．
(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
2．(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3
C. D.
A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
∴点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，
易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
∴其最小值为
|AF|＝ ＝.]
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
抛物线的实际应用
[探究问题]
已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？
[提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．
【例3】 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
思路探究：→→→→
[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线标准方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
3．如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为( )
A．2.2米 B．4.4米
C．2.4米 D．4米
B [如图，建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A(2，－2)代入x2＝my，
得m＝－2，
∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2，
故水面宽为4.4 m，故选B.]
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
1．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y B．x2＝－y
C．y2＝－x D．y2＝x
B [由准线方程为y＝知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.]
2．抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
A [由题意知6a＋3＝5，解得a＝，因此抛物线方程为y2＝8x.]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
4 [把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2，0)．故点A到焦点的距离为4.]
4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
[解] 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
B [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.]
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
D [由题意抛物线的焦点坐标为(2，0)或(－2，0)，因此抛物线方程为y2＝±8x.]
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
B [抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.]
4．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0)．从而kAF＝＝－.]
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.]
二、填空题
6．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
y＝－ [化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.]
7．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]
8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
②④ [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．
[解] 法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
法二：由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5，0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5，0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.
10．如图是抛物线型拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
[解]
如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y.
当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.
∴|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．
[能力提升练]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2 B．4
C. D.＋1
A [将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.]
2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
D [由e2＝1＋＝4得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
抛物线C2的焦点坐标为，
则有＝2，解得p＝8，
故抛物线C2的方程为x2＝16y.]
3．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
2 [抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.]
4．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6，6)或(－6，－6) [设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.
代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6.
因此P(－6，6)或P(－6，－6)．]
5．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．
又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
