课件71张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质y≥0，x∈Ry≤0，x∈R1x轴y轴(0，0)一两一没有平行或重合抛物线几何性质的应用 与中点弦、焦点弦有关的问题 直线与抛物线的位置关系 抛物线性质的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.4.2 抛物线的简单几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.
2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
2.焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是( )
A. B.
C．1 D.
D [抛物线方程可化为x2＝y，其准线方程为y＝－，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是.]
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
D [顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
2 [F(1，0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.
∴AF⊥x轴，
∴|BF|＝|AF|＝2.]
抛物线几何性质的应用
【例1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．
(1)y2＝3x或y2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.]
(2)解：由已知得＝2，所以＝4，解得＝，
即渐近线方程为y＝±x.
而抛物线准线方程为x＝－，
于是A，B，
从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.
抛物线各元素间的关系
抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为.
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
C [设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.]
与中点弦、焦点弦有关的问题
【例2】 (1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1①求该抛物线的方程；
②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
思路探究：(1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．
(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．
②根据①求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由＝＋λ，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值．
[解] (1)法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，
由根与系数得y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
(2)①直线AB的方程是y＝2·，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
②由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)“中点弦”问题解题策略两种方法
2．(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
y2＝4x [设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则
②－①整理得＝，
又＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.
因此抛物线C的方程为y2＝4x.]
(2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
[解] 因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1，
此时|AB|＝4，不合题意，
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
所以＝6，解得k＝±1.
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
直线与抛物线的位置关系
【例3】 (1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
思路探究：(1)直线y＝kx－k过定点(1，0)，根据定点与抛物线的位置关系判断．
(2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．
(1)C [直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C.]
(2)解：由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组(*)
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
(Ⅰ)：当k＝0时，由方程①得y＝1，
把y＝1代入y2＝4x，得x＝，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
(Ⅱ)：当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1)．
a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．
b．由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－1从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．
c．由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>.于是当k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．
综上，当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点．
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线无公共点．
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解] 因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
抛物线性质的综合应用
[探究问题]
1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？
[提示] 两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？
[提示] 法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＝|3(t－)2＋|＝＋.
∴当t＝时，d有最小值.
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
∴最小距离为＝＝.
【例4】 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
思路探究：第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．
[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？
[解] 由解得或
由图可知，A(4，4)，B(1，－2)，
则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝＝|(y0－1)2－9|.
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
2.若本例改为：在平面直角坐标系xOy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3，0)．如何求解？
[解] (1)因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．因为|PQ|是点Q到直线l的距离，而|PQ|＝|QF|，所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0)．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)，则消去x得y2－4my－4＝0.于是，有yM＝＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m)．同理，N.
因此，直线MN的斜率kMN＝＝，方程为y－2m＝(x－2m2－1)，即mx＋(1－m2)y－3m＝0.显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，所以直线MN过定点(3，0)．
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．
(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
相交：①有两个交点：②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；
相切：有一个公共点，即
相离：没有公共点，即
直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
C [由题意知抛物线方程为x2＝±2py，且＝3，即p＝6，因此抛物线方程为x2＝±12y.]
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A. B.
C. D.
A [线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]
3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
(4，2) [由得x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4，2)．]
4．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值．
[解] 由
消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
由Δ＞0，得b＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.
∴|x1－x2|＝＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.
课时分层作业(十三) 抛物线的简单几何性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程y＝－2所表示曲线的形状是( )
D [方程y＝－2等价于故选D.]
2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．16 B．12 C．10 D．8
B [由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]
3．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B [点(2，4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B [易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
B [设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2，0)，
所以＝－，即y0＝4.
由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6.
从而|PF|＝6＋2＝8.]
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.]
7．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．
(x＋1)2＋(y－)2＝1 [
由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1.
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.
由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，
即直线方程为x－y＋1＝0，
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.
即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
[解] (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，
解得k>－1且k≠0.
又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.
10．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．求证：
(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(3)＋为定值.
[证明] (1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，
y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，
∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p2m2＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p，
∴θ＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝；θ≠90°时，m＝，x1＋x2＝＋p，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝.
∴|AB|＝.
(2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝；
(3)＋＝＋
＝＝＝.
[能力提升练]
1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝( )
A. B. C. D.
C [因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.]
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为
y＝(x－1)．
联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3，2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1，2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C.]
3．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是________．
(0，0) [设P(x0，y0)，则＝(x0－2，y0)，
＝(x0－4，y0)，
所以·＝(x0－2)(x0－4)＋y，又y＝－4x0，
所以·＝x－10x0＋8＝(x0－5)2－17，
因为x0≤0，所以当x0＝0时，·取得最小值．
此时点P的坐标为(0，0)．]
4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
32 [y＝4x1，y＝4x2，则y＋y＝4(x1＋x2)，
若过点P(4，0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x＝4，
此时x1＋x2＝8，y＋y＝32，
若过点P(4，0)的直线存在斜率，则设直线方程为y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
则x1＋x2＝8＋>8，此时y＋y>32，
因此y＋y的最小值为32.]
5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
[解] (1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.
(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，所以kAB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝＋，所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p，0)．
