3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解空间向量的概念．(难点)
2．掌握空间向量的线性运算．(重点)
3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)
1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
3.向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法
运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
4.空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．
5．共线向量和共面向量
(1)共线向量
①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．
③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使＝＋t．
(2)共面向量
①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x_a＋y_b．
③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y) 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y．
思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)
即＝＋，因此点P与点A，B，C共面．
1．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [共四条：AB，A1B1，CD，C1D1.]
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
C [＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.]
3．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简向量表达式－＋－的结果为________．
2 [－＋－＝(＋)－(＋)
＝－＝2.]
空间向量的有关概念
【例1】 (1)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.
其中正确命题的序号是________．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
(1)②③④ (2)，， ，，， [(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；
对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确；
对于④，根据相等向量的定义知正确．]
(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
1．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] (1)与向量相等的向量有，，，，共3个；
(2)向量的相反向量为，，，，共4个；
(3)||2＝22＋22＋12＝9，所以||＝3.
空间向量的线性运算
【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；
②；
③＋.
思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解．
(2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解．
(1)D [对于①，(＋)＋＝＋＝，
对于②，(＋)＋＝＋＝，
对于③，(＋)＋＝＋＝，
对于④，(＋)＋＝＋＝.]
(2)解：①∵点P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b，
②∵点N是BC的中点，∴＝＋＋
＝－＋＋＝－a＋b＋c，
③∵点M是AA1的中点，∴＋＝＋＋＋＋
＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c.
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
[解] ＝＋
＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
共线问题
【例3】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．
(2)如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解．
(2)用向量，，分别表示和.
(1)1 [＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以，解得k＝1.]
(2)解：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＋(＋＋)
＝＋－－＋
＝＋＋＝a＋b＋c，
＝＋＝＋＝(＋)＋，
＝a＋b＋c，
∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线．
1.判断向量共线的策略
(1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0)，则a∥b.
(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.
2.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数λ，使＝λ成立.
(2)对空间任一点O，有＝＋t（t∈R）.
(3)对空间任一点O，有＝x＋y（x＋y＝1）.
3．(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A [因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b 所以＝3.
又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．]
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线．
向量共面问题
[探究问题]
1．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？
[提示] (1)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y.
(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
(3)∥.
2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
[提示] 设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋
y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
【例4】 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面．
思路探究：可通过证明＝x＋y求证．
[证明] 因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
1．利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．
2．证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
4．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
(1)＋2＝6－3；
(2)＋＝4－.
试判断点P是否与点A，B，C共面．
[解] 法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，
∴3＝＋2，即＝－2－3.
根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面．
(2)设＝＋x＋y(x，y∈R)，则
＋x＋y＋＝4－，
∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－，
∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，
由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足：
显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．
法二：(1)由题意，＝＋＋，
∵＋＋＝1，∴点P与点A，B，C共面．
(2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1，
∴点P与点A，B，C不共面．
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
2．四点P，A，B，C共面?对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
3．＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4．证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A，B，C共线．
5．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.
1．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
C [由MA＋MB＋MC＝0得＝－－，故M，A，B，C四点共面．]
2．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中点，若＝x＋y＋z，x＋y＋z＝________．
2 [∵＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝1，
∴x＋y＋z＝2.]
3．已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________．
－1 [由＝2x＋3y＋4z得＝－2x－3y－4z，
所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.]
4.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．
[解] ∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
又＝(－)
＝－＝－＝，
∴＋－
＝＋－＝(如图所示)．
课件62张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算有向线段大小方向大小任意001相反－a相等 b＋aa＋(b＋c)向量相同相反0共线向量互相平行或重合同一个平面 空间向量的有关概念 空间向量的线性运算 共线问题 向量共面问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B.]
2．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
A [由共面向量定理易得答案A.]
3．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A. B. C. D.
D [＋－＝＋＝.]
4．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
B [∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．]
5．已知在长方形ABCD-A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点， 点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝( )
A.＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
D [如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝(＋)＝＋＋，故选D.]
二、填空题
6．在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________．(用a，b，c表示)
a＋b＋c [＝＋＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋＝a＋×(＋)
＝a＋b＋c.]
7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．
[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.]
8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”、“相等”或“相反”)
平行 [设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)
所以2＝＋，
从而∥(＋)．]
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[解]
如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．
[证明] ∵＝－，
＝＋＝－，
＝＝(＋)，
∴＝－
＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋，
∴与，共面．
[能力提升练]
1．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为( )
A.＋2＋2 B.－3－2
C.＋3－2 D.＋2－3
C [因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，
由图可知x＝3，y＝－2，故选C.]
2．如图是一平行六面体ABCD-A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，＝2，则＝( )
A.＋＋ B.＋－
C.＋－ D.＋－
B [取BC的中点F，连接A1F，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以＝.又＝＋＋＝－＋＋，所以＝＋－，故选B.]
3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
0 [由λ＋m＋n＝0得＝－－
由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0.]
4．如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________．
[＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋，所以1－λ＝，＝，解得λ＝.]
5．如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解] (1)因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝＋，所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
