课件56张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算〈a，b〉 垂直|a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 (a·b)b·a a·b＋a·c|a||a|cos〈a，a〉 空间向量的数量积运算 利用数量积证明空间的垂直关系 利用数量积求夹角 利用数量积求距离 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.3 空间向量的数量积运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法．
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．
2.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)空间两向量的数量积的性质：
向量数量积的性质
垂直
若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0
共线
同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
模
a· a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2
|a|＝
|a·b|≤|a|·|b|
夹角
θ为a，b的夹角，则cos θ＝
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝.
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.
A．0 B．3
C．2 D．1
D [命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°.]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
π [cos〈a，b〉＝＝＝－.
所以〈a，b〉＝π.]
4．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．
[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)
＝1＋4＋9＋2＝17＋6，
所以|a＋b＋c|＝.]
空间向量的数量积运算
【例1】 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
(1)A [由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.]
(2)解：①·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos 60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③EF·＝·＝－·＝－×cos 60°＝－.
④·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________.
a2 [·＝·
＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.]
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．
[＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋.
∴·(＋＋)＝·(＋＋)
＝2＋2＋2
＝×22＋×32＋×12＝.]
利用数量积证明空间的垂直关系
【例2】 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
[解] 连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题．
(2)用已知向量表示所证向量．
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.
(4)将向量问题回归到几何问题．
2．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
[证明] (1)因为＝＋＝＋(＋)，
因为＝－，所以·
＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.
(2)因为·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·，
可知·＝0，·＝0，
·＝0，·＝||2，
·＝－||2，·＝0，
所以·＝||2－||2＝0，
所以⊥，所以AC′⊥B′C.
同理可证，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′?平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.
利用数量积求夹角
【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
[解] ∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·
cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝24－16.
∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
(2)我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．
3．如图，已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
利用数量积求距离
[探究问题]
1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈，〉的值是多少？
[提示] 〈，〉＝60°或120°.
2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．
[提示] ∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·CD＋2·＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
思路探究： →
→
[解] ∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
2．用数量积求两点间距离的步骤：
(1)用向量表示此距离；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；
(4)|a|即为所求距离．
4.如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
[解] ＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
∴||＝，即E，F间的距离为.
1．空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.]
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A． B．
C．－ D．0
D [·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0，
∴⊥，∴cos〈，〉＝0.]
3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________．
0 [原式＝·＋·＋·(－)
＝·(－)＋·(＋)
＝·＋·＝0.]
4．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
[解] (1)＝＋＋
＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
∴|a＋b＋c|＝，
∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.
课时分层作业(十五) 空间向量的数量积运算
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2DA)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋.
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，
所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．]
2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
B [由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μ m·b＝0.
因此m⊥n.]
3．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A. B. C. D.
B [∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°)
＝14＋2×＝23，
∴||＝，即AC′的长为.]
4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·
＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°.]
5.如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝( )
A．3 B．7
C．4 D．6
B [||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49.
所以||＝7.]
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
(－1－，－1＋) [由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.]
7.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
90° [不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.]
8．如图所示，在一个直二面角α-AB-β的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
2 [∵＝＋＋＝－＋，
∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.]
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
[证明] 设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
[解] 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升练]
1．已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.]
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
B [由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.]
3．已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________．
[
设＝m，则＝m＝m，
∵M为BC的中点，
∴＝＋＝＋m，
又∵＝＋，·＝0，
∴·＝(＋)·＝·＋m·＝·＋m·＝－＋4m＝0，∴解得m＝.]
4．已知在正四面体D-ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________．
[
如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋
cos 60°)＝6，∴||＝.]
5．如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，
＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
