课件46张PPT。第三章 概率3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
一定会发生一定不会发生可能发生也可能不发生事件A出现的次数nA可能性的大小频率fn(A)概率P(A)频率fn(A)概率P(A)事件类型的判断 试验结果的列举 随机事件的频率与概率 点击右图进入…Thank you for watching !
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义．(重点)
2．会初步列出重复试验的结果．(重点)
3．理解频率与概率的区别与联系．(难点、易混点)
通过概率的学习，培养数学抽象素养.
1．必然事件、不可能事件与随机事件
事件类型
定义
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件
确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件
事件
确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示
2.频率与概率
(1)频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率
随机事件发生可能性的大小用概率来度量，概率是客观存在的．对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈.
思考：两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相同吗？
[提示] 不一定．
1．事件“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上均不正确
[答案] C
2．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
C [由频率与概率的有关概念知，C正确．]
3．“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记录正面向上的枚数”，该试验的结果共有________种．
3 [正面向上的枚数可能为0，1，2，共3种结果．]
4．某人射击10次，恰有8次击中靶子，则该人击中靶子的频率是________．
0.8 [＝0.8.]
事件类型的判断
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．
[解] (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；
(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件；
(4)中小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．
判断事件类型的思路
判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不会发生(不可能事件)．
1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B [③“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；①②④的判断均正确．]
试验结果的列举
【例2】 设集合M＝{1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？
(2)“a＝b”这一事件包含哪几个基本事件？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”这一事件包含哪几个基本事件？
[解] 这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：
(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．
(2)“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：
(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－>－1，所以<1.所以a所以包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．
不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．
2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
[解] (1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
随机事件的频率与概率
[探究问题]
1．随机事件的频率与试验次数有关吗？
[提示] 频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．
2．随机事件的概率与试验次数有关吗？
[提示] 概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多少次完全无关．
3．试验次数越多，频率就越接近概率吗？
[提示] 不是．随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大．在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概率的估计值．即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．
【例3】 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．
思路点拨：(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数(一年内出险次数小于2的频数)，进而可得P(A)的估计值；(2)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%的频数(一年内出险次数大于1且小于4的频数)，进而可得P(B)的估计值．
[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
1．(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解] (1)计算得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
2．(变结论)本例条件不变，记C为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费的150%”，求P(C)的估计值．
[解] 事件C发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4，由表中数据知，一年内出险次数大于或等于4的频率为＝0.15，
故P(C)的估计值为0.15.
随机事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
(2)求法：通过公式fn(A)＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“抛掷硬币五次，均正面向上”是不可能事件． ( )
(2)在平面图形中，三角形的内角和是180°是必然事件． ( )
(3)频率与概率可以相等． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列事件中的随机事件为( )
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾
C [A中的等式显然对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]
3．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有________种．
36 [试验的全部结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．]
4．一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
[解] (1)计算即得男婴出生的频率依次约为0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
课时分层作业(十五) 随机事件的概率
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1. 下列事件：①一个口袋内只装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军．其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件．]
2．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )
A．男女、男男、女女 B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女
C [按先后顺序用列举法可得C正确．]
3．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
A [取到号码为奇数的频率是＝0.53.]
4．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( )
A．3件都是正品 B．至少有一件是次品
C．3件都是次品 D．至少有一件是正品
D [任意抽取3件的可能情况是：3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种可能的结果中都至少有1个正品，所以“至少有1个是正品”是必然发生的，即必然事件应该是“至少有1个是正品”．]
5．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②作7次抛掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是＝；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．2
A [由频率与概率间的联系与区别知，①②③均不正确．]
二、填空题
6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
500 [设共进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故共进行500次试验．]
7．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
52 0.52 [100次试验中有48次正面朝上，则有52次反面朝上，则频率＝＝0.52.]
8．先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上面的情况，某同学记录了以下事件：
A事件：只有一枚硬币正面向上．
B事件：两枚硬币均正面向上．
C事件：至少一枚硬币正面向上．
则含有三种结果的事件为________．
C [A事件有两种结果，(正，反)(反，正)；B事件只有一种结果，(正，正)；C事件有三种结果．]
三、解答题
9．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
[解] (1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．
10．指出下列试验的条件和结果．
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d四个球的袋子中，任取2个球．
[解] (1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种可能的结果．
(2)条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能的结果．
(3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种可能的结果．
[能力提升练]
1．根据省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
C [根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副，选C.]
2．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，将频率视为概率，试估算恰有一组研发成功的概率为( )
A． B． C． D．
B [在抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果有8个，故在所抽取的样本中恰有一组研发成功的频率为，将频率视为概率，即得恰有一组研发成功的概率约为.]
3．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．
⑥ ④ ①②③⑤ [从100个产品(含2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“两个正品，一个次品”“一个正品，两个次品”．]
4．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6，10)内的频数为______，估计数据落在[2，10)内的概率约为________．
64 0.4 [数据落在[6，10)内的频数为200×0.08×4＝64，落在[2，10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4.]
5．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
[解] (1)贫困地区依次填：0.533，0.540，0.520，
0.520，0.512，0.503.
发达地区依次填：0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550.
(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.
