课件20张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
C [1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]
2.＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
D [＝＝＝2－i.
故选D.]
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
A [由已知得＝i(1－i)＝i＋1，
则z＝1－i，故选A.]
4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
C [z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]
5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴
解得a＝0.故选B.]
6．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A [因为z1＝z2，所以
解得m＝1或m＝－2，
所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．]
7．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
D [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
??
所以＝＝＝±i.]
8．如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i
B．3－i
C．1－3i
D．－1＋3i
D [＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]
9．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A. B.
C．－ D．2
C [因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.]
10．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
C [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，
∴
∴y＝±x(x≠0)．]
11．已知0
A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
C [由已知，得|z|＝.
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．故选C.]
12．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．|z|＝|1|2
D [A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；C错，反例：z1＝1，z2＝i；D正确，z1＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2，|1|2＝a2＋b2，故|z|＝|1|2.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
21 [复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]
16．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．
[＝＝＝－i，因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以?－6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？ (2)z是纯虚数？
[解] (1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
[解] 因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，
解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
20．(本小题满分12分)复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
[解] 由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
因为a为纯虚数，
所以设a＝mi(m∈R，且m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0，
故
所以m＝4，即a＝4i.
21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
22．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵(1＋2i)＝4＋3i，
∴＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，
则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴
解得－1＜a＜1，
即实数a的取值范围为(－1,1)．
复数的概念
【例1】 (1)复数＋的虚部是( )
A.i B.
C．－i D．－
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
(1)B (2)B [＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为.
(2)由纯虚数的定义，可得解得a＝2.]
处理复数概念问题的两个注意点
?1?当复数不是a＋bi?a，b∈R?的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部.
?2?求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为( )
A．4 B．－1
C．6 D．－1或6
(1)A (2)B [(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
(2)由题意可得z1＝z2，
即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，
根据两个复数相等的充要条件可得
解得m＝－1，故选B.]
复数的四则运算
【例2】 (1) 已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则＝( )
A．－4＋3i B．3＋4i
C．3－4i D．4－3i
(1)A (2)D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴∴z＝1＋i，故选A.
(2)＝
＝
＝－＝4－3i.]
1．本例题(1)中已知条件不变，则＝________.
i [由例(1)解析知z＝1＋i，所以＝1－i.
＝＝i.]
2．本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝__________.
－i [z1z2＝
＝＝
＝＝－i.]
1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；
2．复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化．
复数的几何意义及其应用
【例3】 已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.
又＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，
∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限，
∴解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi?x，y∈R?，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
2．(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
(1)B (2)－3 －10 [(1)＝＝
＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．
(2)∵＝2＋，
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，
即∴]
