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一、统计案例
1．线性回归方程
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－，其中(，)称为样本点的中心．
2．线性回归模型为y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差．
3．残差i＝yi－i.
4．刻画回归效果的方式
(1)残差平方和法
残差平方和(yi－i)2越小，模型拟合效果越好．
(2)残差图法
残差图形成的带状区域的宽度越窄，模型拟合效果越好．
(3)相关指数R2法
R2越接近1，模型拟合效果越好．
5．K2公式
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
二、推理与证明
1．合情推理
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明与间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法： ①综合法是从条件推导出结论的证明方法；
②分析法是由结论追溯到条件的证明方法．
(2)间接证明一种方法是反证法，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
三、数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念及分类
(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；
(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．
(3)复数的分类
①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与的关系为z＝.
②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与的关系为z＋＝0(z≠0)．
2．与复数运算有关的问题
(1)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)．
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.
(3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
④除法：＝＝＋i(z2≠0)．
3．复数的几何意义
(1)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.
(2)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量1、2不共线，则复数z1＋z2是以1、2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(3)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量1、2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．
四、框图
1．流程图
(1)流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．
(2)流程图是动态图示，包括程序框图、工序流程图、生活中的流程图等．
(3)流程图一般按照从左到右，从上到下的顺序来观察．
2．结构图
(1)结构图是一种静态图示，是一种描述系统结构的图示．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．连线通常按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示要素的从属关系或逻辑的先后关系．
(2)常见结构图
(3)结构图中的从属关系通常是“树”形结构的，即构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素．一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．
(4)在结构图中也经常出现一些“环”形结构，这种情形常在表达逻辑先后关系时出现．
(5)结构图还经常用来表示一个组织的构成，组织结构图一般呈“树”形结构．
1．回归方程＝x＋中的表示当x每增加一个单位时，的变化量．(√)
2．R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．(√)
3．散点图是判断两个变量是否有相关关系的工具之一．(√)
4．若一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为1.(√)
5．回归直线＝x＋不一定过点(，)．(×)
6．在独立性检验中，当K2≥6.635时，我们有99%的把握认为两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为99%，而不是两分类变量有关系的概率为99%.(√)
7．独立性检验的基本思想类似于反证法．(√)
8．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)
9．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)
10．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)
11．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．(√)
12．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．(√)
13．综合法是执因索果的顺推证法．(√)
14．分析法的框图表示
―→―→―→…―→.(√)
15．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(√)
16．反证法是从结论的反面出发，推出矛盾的证法．(√)
17．反证法证明“a，b，c中存在偶数”的假设为“a，b，c都不是偶数．”(√)
18．复数z＝bi是纯虚数．(×)
19．若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(√)
20．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(×)
21．复数的模一定是正数．(×)
22．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件．(√)
23．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|.(×)
24．当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数．(√)
25．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．(√)
26．组织结构图是结构图的一种．(√)
27．结构图可描述一个系统各部分或各环节之间的关系．(√)
28．工序流程图中，各工序之间可以相互调换．(×)
29．“→→”这是流程图．(×)
30．程序框图不属于流程图．(×)
1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B.
C．1 D.
C [法一：因为z＝＋2i＝＋2i
＝－i＋2i＝i，
所以|z|＝1，故选C.
法二：因为z＝＋2i＝＝，
所以|z|＝＝
＝＝1，故选C.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
B [由程序框图的算法功能知执行框N＝N＋计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T＝T＋计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的命令是i＝i＋2，故选B.]
4．(2018·全国卷Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
[解] (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)
5．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，≈18.439，
(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(ⅱ)在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)
附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝，
≈0.09.
[解] (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数
r＝≈≈－0.18.
由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
(2)(i)由于＝9.97，s≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
(16×9.97－9.22)＝10.02，
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
x≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.
6．(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝，
[解] (1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．
(以上给出了4种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)
(2)由茎叶图知m＝＝80.
列联表如下：
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
B [由题意知，∴m＝0.]
2．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
A [对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1)，当a>1时是增函数，当0
3．i是虚数单位，复数的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋2i D．－1－2i
A [∵＝
＝＝2－i，∴的共轭复数是2＋i.]
4．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除
B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a，b都不能被5整除．]
5．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为( )
A．有理数、零、整数
B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数
D．整数、有理数、零
B [由实数的包含关系知B正确．]
6．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表，下列结论正确的是( )
是否感染
性别
感染
未感染
总计
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
总计
30
70
100
A.在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
D．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
A [K2＝≈4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．]
7．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
D [＝＝－，
对应点在第四象限．]
8. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
A [由(x,7.765)在回归直线＝0.66x＋1.562上．
所以7.765＝0.66x＋1.562，
则x≈9.4，
所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.]
9．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z2|＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条件是b2－4ac＞0可以类比得到：方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac＞0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论错误的是( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
C [因为复数z中，|z|2为实数，z2不一定为实数，所以|z|2≠z2，故②错；当方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根时，应设出复数根的表达式，利用复数相等的条件列关系式，故③错．]
10．如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000？和n＝n＋1
B．A>1 000？和n＝n＋2
C．A≤1 000？和n＝n＋1
D．A≤1 000？和n＝n＋2
D [因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000？”．
故选D.]
11．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C．n(n＋1)
D．n(n＋1)f(1)
D [由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，知f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)，…，f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝f(1)＝n(n＋1)．]
12．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为( )
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2 D．n
B [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：
喜欢数学课
不喜欢数学课
总计
男
30
60
90
女
20
90
110
总计
50
150
200
经计算K2≈6.06，根据独立性检验的基本思想，约有________(填百分数)的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．
[答案] 97.5%
14．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔，多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．
→→→
[答案] 解方程组
15．若复数z＝＋(a2＋2a－15)i为实数，则实数a的值是________．
3 [若复数z＝＋(a2＋2a－15)i为实数，则解得a＝3.]
16．观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________．
1＋＋＋＋＋< [左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边式子的分子是分母的2倍减1，还可以发现右边分母与左边最后一项分母相等，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0用分析法证明：≥.
[证明] 因为a>0，b>0，
要证≥，
只要证，(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
18．(本小题满分12分)已知z∈C，且|z|－i＝＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数的虚部．
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝＋2＋3i，得出－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i，故有
解得
∴z＝3＋4i，复数＝＝2＋i，虚部为1.
19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
[解] (1)由题意知， n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
＝＝＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
20．(本小题满分12分)调查某桑场采桑员和患桑毛虫皮炎病的情况，结果如下表：
采桑
不采桑
总计
患者人数
18
12
健康人数
5
78
总计
利用独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关，并求出认为两者有关系犯错误的概率不超过多少．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.005
0.001
k0
7.879
10.828
[解] 因为a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，所以a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113，
所以K2的观测值k＝
＝≈39.6＞10.828.
所以有99.9%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系，认为两者有关系会犯错误的概率不超过0.1%.
21．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：
(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码；
(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩；
(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．
试画出该远程教育学院网上学习流程图．
[解] 某大学远程教育学院网上学习流程图如图所示：
22. (本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
[解] z＝(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4得a2＋b2＝4，①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，
所以|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得a2＝3b2，②
代入①得，|b|＝1.
又因为Z点在第一象限，所以a<0，b<0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
模块综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知＝b＋2i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a－b＝( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
A [依题意得1－ai＝b＋2i，因此a＝－2，b＝1，a－b＝－3，选A.]
2．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②①
A [解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.]
3．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|＜1，且方程x2＋ax＋b＝0有两个根，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根的绝对值不都小于1.以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确，②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误，②的假设正确
D [对于①，结论的否定是p＋q＞2，故①中的假设错误；易知②中的假设正确，故选D.]
4．如图所示的知识结构图为什么结构( )
A．树形 B．环形
C．对称性 D．左右形
A [由题图可知结构图为树形结构．]
5．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.]
6．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.1
根据以上样本数据，她建立了身高y(cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.96，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点(6,117.1)；③儿子10岁时的身高是145.86 cm;
④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19 cm.
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C. 3 D. 4
C [线性回归方程为＝7.19x＋73.96,7.19＞0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性相关关系，①正确；回归直线过样本的中心点为(6,117.1)，②正确；当x＝10时，＝145.86，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.86 cm而不一定是实际值，③错误；回归方程的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19 cm，④正确．]
7．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：
数学
物理
85～100分
85分以下
总计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
总计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )
A．0.5% B．1%
C．2% D．5%
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
D [代入公式得K2的观测值
k＝≈4.514>3.841查表可得．]
8．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程＝0.3x＋4，则c＝( )
A．0.3 B．e0.3
C．4 D．e4
D [由y＝cekx，等式两边取对数得ln y＝ln cekx＝ln c＋kx，令z＝ln y，则z＝ln c＋kx，由＝0.3x＋4，得ln c＝4，得c＝e4.]
9．阅读如图程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )
A．S<8? B．S<9?
C．S<10? D．S<11?
B [根据程序框图，i＝2，S＝2×2＋1＝5，不满足条件；i＝3，S＝2×3＋2＝8，不满足条件；i＝4，S＝2×4＋1＝9，此时输出i＝4，所以填S<9？.]
10．下列推理合理的是( )
A．f(x)是增函数，则f′(x)＞0
B．因为a＞b(a，b∈R)，则a＋2i＞b＋2i(i是虚数单位)
C．α，β是锐角△ABC的两个内角，则sin α＞cos β
D．A是三角形ABC的内角，若cos A＞0，则此三角形为锐角三角形
C [A不正确，若f(x)是增函数，则f′(x)≥0；B不正确，复数不能比较大小；C正确，∵α＋β＞，∴α＞－β，∴sin α＞cos β；D不正确，只有cos A＞0，cos B＞0，cos C＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．]
11．如图所示图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是( )
① ② ③ ④
A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1
C．2n2＋2 D．2n2－n＋1
B [观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．]
12．设数列{an}是集合{3s＋3t|0≤s4
10 12
28 30 36
…
A．39＋319 B．310＋319
C．310＋320 D．39＋320
D [分别根据数列{an}的值，确定an的取值规律，利用归纳推理即可得到结论．
a1＝4＝30＋31，a2＝10＝30＋32，
a3＝12＝31＋32，a4＝28＝30＋33，
a5＝30＝31＋33，a6＝36＝32＋33.
利用归纳推理即可得：s＋1代表列数，t表示行数，当t＝19时，最后一项为第1＋2＋…＋19＝190项，当t＝20时，最后一项为第1＋2＋…＋20＝210项，∴a191为第20行第一个数，a200为第20行第10个数，∴a200＝39＋320.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如图所示结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.
[答案] 知识 并集 交集 补集
14．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
a15．复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部是________．
[化简得z＝＝＝＋i，则虚部为.]
16．在Rt △ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
[通过类比可得R＝.
证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知i是虚数单位，复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i.
(1)求复数z1；
(2)若复数z2的虚部为2，且是实数，求|z2|.
[解] (1)z1＝＋2＝2－i.
(2)设z2＝a＋2i(a∈R)，
则＝＝＋i，
∴＝0?a＝4.∴z2＝4＋2i，∴|z2|＝2.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
[解] (1)<.证明如下：
要证<，只需证<.
因为a，b，c>0，所以只需证b2因为，，成等差数列，
所以＝＋≥2，所以b2≤ac.
又a，b，c均不相等，所以b2故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B<0.
由余弦定理得，
cos B＝≥>>0.
这与cos B<0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边．
则b>a，b>c，所以>>0，>>0，
则＋>＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
19．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1，
32－22＝2×2＋1，
42－32＝2×3＋1，
…
(n＋1)2－n2＝2n＋1.
将以上各等式两边分别相加得：(n＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.
(1)类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值；
(2)根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值．
[解] (1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…，
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1，
将以上各式两边分别相加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，
∴12＋22＋…＋n2
＝＝n·(n＋1)(2n＋1)．
(2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝×100×101×201－4××50×51×101＝166 650.
20．(本小题满分12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x(千万元)
3
5
6
7
9
利润额y(百万元)
2
3
3
4
5
(1)画出如图所示散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；
(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；
(3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小．
[解] (1)散点图
两个变量符合正相关
(2)设回归直线的方程是：＝x＋，＝6，＝3.4，＝200，iyi＝112，
∴＝＝0.5，＝－＝0.4，
∴y对销售额x的回归直线方程为：＝0.5x＋0.4.
(3)当销售额为4(千万元)时，利润额为：＝0.5×4＋0.4＝2.4(百万元)．
21．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否在犯错误不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
附：K2＝，
[解] 由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝
＝＝≈3.030.因为3.030＜3.841，所以没有理由在犯错误概率不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关．
22．(本小题满分12分)已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并分别记为kPM，kPN，则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
[解] 类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并分别记为kPM，kPN，则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则点N的坐标为(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知双曲线上，
所以n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
