课件48张PPT。第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
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2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解合情推理的含义．(易混点)
2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)
1.通过学习归纳推理和类比推理，培养数学逻辑推理的素养．
2．借助合情推理，培养抽象概括的素养.
1．归纳推理与类比推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)
特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
[提示] 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
2．合情推理
→
1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形的面积S扇＝( )
A. B.
C. D．不可类比
C [结合类比推理可知S扇＝.]
3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)．
15 3n－3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.
由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N*)．]
数、式中的归纳推理
【例1】 (1)观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…
照此规律，第n个等式可为________．
(2)已知：f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)．
①求a2，a3，a4的值；
②猜想an的表达式．
(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
(2)f3(x)＝ fn(x)＝ [(1)12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
根据前几项可以猜想fn(x)＝.]
(3)解：①因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝，
又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝，
又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋，
解得a4＝.
②由①知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*)．
进行数、式中的归纳推理的一般规律
?1?已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式?或不等式?中项数和次数等方面的变化规律；
②要特别注意所给几个等式?或不等式?中结构形式的特征；
③提炼出等式?或不等式?的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论.
?2?数列中的归纳推理,在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和公式.
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
1．(1)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．
(2)已知下列各式：
1＞，
1＋＋＞1，
1＋＋＋＋＋＋＞，
1＋＋＋…＋＞2，
…，
请你归纳出一般性结论：________.
(1)65 (2)1＋＋＋…＋＞ [(1)因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x＝64＋1＝65.
(2)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增加1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为，，，，…，从而归纳得出一般结论：
1＋＋＋…＋＞.]
几何图形中的归纳推理
【例2】 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．
(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．
(1)5n＋1 (2)509 [(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]
利用归纳推理解决几何问题的两个策略
?1?通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.
?2?递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.
2．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．
16 3n＋1 [数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第5个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]
类比推理及其应用
三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：
[探究问题]
1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
2．三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？
提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的.
【例3】 (1)在等差数列{an}中，对任意的正整数n，有＝an.类比这一性质，在正项等比数列{bn}中，有________．
(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A-BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间的关系，并给予必要证明．
思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．
(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC.
[解] (1)由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以2n－1，即商类比成开2n－1次方，即在正项等比数列{bn}中，有＝bn.
(2)△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为S＝S△OBC·S△DBC.
证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，
∵AD⊥平面ABE，
∴AD⊥AE，AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥DE，AO⊥BC.
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AED，
∴BC⊥AE，BC⊥DE.
∴S△ABC＝BC·AE，
S△BOC＝BC·OE, S△BCD＝BC·DE.
在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD.
1．(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
[解] 如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有＝＋成立”．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
[解] 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.
下面证明上述猜想成立
如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD, AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
类比推理的一般步骤
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．
2．合情推理的过程概括为：
―→―→
―→
1．判断正误
(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．( )
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )
(3)由个别到一般的推理为归纳推理．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第六个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
B [第一个三角形数是1＋2＝3，
第二个三角形数是1＋2＋3＝6，
第三个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.
因此，归纳推理得第n个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n＋1＝(个)．由此可以得出第六个三角形点数是28.]
3．等差数列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*) [类比等差数列，可以类比出结论b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)]
4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．
[解] 如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2B＝2＋2＝＝1.
于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
课时分层作业(三) 合情推理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1. 下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
B [由归纳推理的定义知B是归纳推理，故选B.]
2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
其中类比结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B.]
3．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )
A．2n－2 B．2n－2
C．2n－2－ D．2n＋1－4
A [∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.故选A.]
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
C [归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝6n＋2.]
5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
C [设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S-ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，
∴r＝.]
二、填空题
6．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
F＋V－E＝2 [观察分析、归纳推理．
观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.]
7．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9 [结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.]
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解] 先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－.
当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N＋.
10．如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
[解] 在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
[能力提升练]
1．观察如图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B.
C. D.
A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]
3．可以运用下面的原理解决一些相关图形(如图)的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．
πab [由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，
即k＝，
∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.]
4．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.]
5．已知
12＝1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，
所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．
[解] 记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，
……
Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N*)．
已知13＝1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝＝
＝.
