课件43张PPT。第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 演绎推理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解演绎推理的含义．(重点)
2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)
1.通过学习演绎推理，提升逻辑推理的素养．
2．借助三段论，提升数学运算素养.
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
思考：如何分清大前提、小前提和结论？
[提示] 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
B [得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．]
2．三段论：
“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
③ [在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．]
3．下列几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
① [①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．]
把演绎推理写成三段论的形式
【例1】 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分．
(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，
小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角，
结论：∠A＝∠B.
(3)大前提：数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，
小前提：通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，
结论：通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
把演绎推理写成“三段论”的一般方法
?1?用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.
?2?在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
B [对于A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．]
用三段论证明几何问题
【例2】 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的格式
2．用“三段论”证明命题的步骤
①理清楚证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
[证明] 三角形的中位线平行于第三边，(大前提)
点E、F分别是AB、AD的中点，(小前提)
所以EF∥BD.(结论)
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则这条直线与此平面平行，(大前提)
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，(小前提)
EF∥平面BCD.(结论)
用三段论证明代数问题
[探究问题]
1．数的大小比较常见方法有哪些？
提示：作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等．
2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明．
提示：证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理．如函数单调性的证明，常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．
【例3】 (1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
(2)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
思路探究：(1)借助于指数函数、对数函数互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解．
(1)D [法一：取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>，∴2x>3y；
xln 2＝zln 5，则＝<，∴2x<5z，
∴3y<2x<5z，故选D.
法二：令2x＝3y＝5z＝k，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∴＝·＝>1，则2x>3y，
＝·＝<1，则2x<5z，故选D.]
(2)解：法一：(定义法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
且x1
则f(x2)－f(x1)
＝ax2＋－ax1－
＝ax2－ax1＋－
＝ax1(ax2－x1－1)＋
＝ax1(ax2－x1－1)＋.
因为x2－x1>0，且a>1，
所以ax2－x1>1，
而－1所以x1＋1>0，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
法二：(导数法)f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axln a＋.
因为x>－1，所以(x＋1)2>0，
所以>0.
又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0.所以f′(x)>0.
于是得f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数．
1．(变条件)把本例(1)的条件变换如下：
“已知2a＝3,2b＝6,2c＝12”，则a，b，c的关系是( )
A．成等差数列但不成等比数列
B．成等差数列且成等比数列
C．成等比数列但不成等差数列
D．不成等比数列也不成等差数列
A [由条件可知a＝log2 3，
b＝log2 6，c＝log2 12.
因为a＋c＝log2 3＋log2 12
＝log2 36＝2log2 6＝2b，
所以a，b，c成等差数列．
又因为ac＝log2 3log2 12≠(log2 6)2＝b2，
所以a，b，c不成等比数列．故选A.]
2．(变条件)把本例(2)的函数换成“y＝”，求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
[证明] y＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－
＝2－
＝2－＝2－2＝0.
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
由于x1所以f(x1)五类代数问题中的三段论
?1?函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.
?2?导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.
?3?三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.
?4?数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.
?5?不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.
1．三段论的形式：
大前提：M是P；
小前提：S是M；
结论：S是P.
2．应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论.
1．判断正误
(1)“三段论”就是演绎推理．( )
(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )
(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )
A．大前提 B．小前提
C．推理过程 D．没有出错
A [要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]
3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________.
小前提：________________.
结论：________________.
一次函数的图象是一条直线 y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线 [本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．]
4. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
[证明] 因为任意三角形内角之和为180°，(大前提)
而直角三角形是三角形，(小前提)
所以直角三角形内角之和为180°.(结论)
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等，(大前提)
(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°，(小前提)
所以∠A＋∠B＝90°.(结论)
课时分层作业(四) 演绎推理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
A [大前提为所有金属都能导电，小前提为铁是金属，结论为铁能导电，故选A.]
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC
方框部分的证明是演绎推理的( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
B [因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
C [不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．]
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
A [根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．]
5．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.]
二、填空题
6．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________________．
log2x－2≥0 [由三段论方法知应为log2x－2≥0.]
7. “如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
证明：在△ABC中 ，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________．(填序号)
③ [由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．]
8．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
[因为奇函数f(x)在x＝0处有定义时f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．解得a＝.]
三、解答题
9．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
[证明] 如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE?平面SAB.
∴AE⊥平面SBC，
又BC?平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB?平面SAB.∴AB⊥BC.
10．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
[证明] 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边加上同一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以<，即＜.(结论)
[能力提升练]
1．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
C [由三段论推理概念知推理正确．]
2．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
A [A为演绎推理，这里省略了大前提，B为归纳推理，C，D为类比推理．]
3．以下推理中，错误的为________．(填序号)
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
① [当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．]
4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意n，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26.
其中正确结论为________．
①②③ [由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26.
故①②③均正确．]
5．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
[解] (1)证明：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)
∴f(1)＝0.(结论)
(3)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)＝f(4)，(小前提)
∴
解得0＜x≤1.(结论)
