课件33张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念
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3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)
2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
1.通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．
2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养.
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
1．复数i－2的虚部是( )
A．i B．－2
C．1 D．2
C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1，
∴
∴x＝1，y＝－1.]
3．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________．
0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.
1＋i，πi，＋2i，－ i，i πi，i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]
复数的概念
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
判断复数概念方面的命题真假的注意点
?1?正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；
?2?注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；
?3?注意通过列举反例来说明一些命题的真假.
1．下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
C [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
复数的分类
【例2】 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解] (1)当x满足即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
复数分类的关键
?1?利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi?a，b∈R?时应先转化形式.
?2?注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi?a，b∈R?，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0，④z＝0?a＝0，且b＝0.
2．已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
[解] (1)当z为实数时，m需满足解得m＝1.
(2)当z为虚数时，m需满足解得m＞0，且m≠1.
(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数．
复数相等的充要条件
[探究问题]
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.
【例3】 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
思路探究：(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零．
(2)根据复数相等的充要条件求解．
(1)－3 [∵z<0，∴∴m＝－3.]
(2)解：设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且2－＋3m＝0，所以m＝.
1．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－＋i.
2．若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0, 故解得
所以实数m的取值范围为m>.
复数相等问题的解题技巧
?1?必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
?2?根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.
1．a，b∈R，a＋bi＝0?a＝b＝0；a＋bi＞0?
2．两个虚数不能比较大小．
3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0.
4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法.
1．判断正误
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C．±，5 D．±，1
C [令得a＝±，b＝5.]
3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．
或 [∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或]
4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，
复数z为实数，
∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，
复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，
复数z是纯虚数，
∴m＝－2.
(4)当时，
复数z是0，∴m＝－3.
课时分层作业(七) 数系的扩充和复数的概念
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题：
(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
(2)x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为 ( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题知解得m＝3，故选B.]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
A [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
C [由题意知解得a＝－4.]
5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．]
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
－2 [∴m＝－2.]
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
2 ±2 [由复数相等的充要条件有
?]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
[解] ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
[能力提升练]
1．下列命题正确的个数是( )
①1＋i2＝0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
A．1 B．2
C．0 D．3
B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．对于③，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以
解得
所以z＝3－i.]
3．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．
2 [由题意得解得m＝2.]
4．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y________.
－1 2 [由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
解得x＝－1，y＝2.]
5．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
[解] 由z1＝z2得
消去m得λ＝4sin2 θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.
