课件36张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义点击右图进入…Thank you for watching !3.1.2 复数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)
2．掌握实轴、虚轴、模等概念．(易混点)
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)
1.通过复数的几何意义，体会直观想象的素养．
2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养.
1．复平面
思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2．复数的几何意义
3．复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝.
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
A [复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．]
2．向量a＝(－2,1)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
D [向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.]
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
[∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝.]
复数与复平面内的点的关系
【例1】 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
思路探究：→
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则
解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
则
即(a＋3)(a－5)＞0，
解得a＞5或a＜－3.
1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解] 点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解] 因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±.
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
利用复数与点的对应解题的步骤
?1?首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.
?2?根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.
复数与复平面内向量的对应
【例2】 在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量＋和对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
[解] (1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，
则＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，
因此＋＝(1,1)，＝－＝(1，－4)，
故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i.
(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，若设D(x0，y0)，则有
解得故D(3,7)．
法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，
由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，
所以＝＋＝(3,7)，于是D(3,7)．
复数与向量的对应和转化
对应：复数z与向量是一一对应关系.
转化：复数的有关问题转化为向量问题求解.
解决复数问题的主要思想方法有：?一?转化思想：复数问题实数化；?二?数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；?三?整体化思想：利用复数的特征整体处理.
1．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判定△ABC的形状．
[解] (1)由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
复数的模及其应用
[探究问题]
1．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？
提示：|z|＝，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0,0)的距离．
2．复数z满足|z－i|＝1，其几何意义是什么？
提示：由|z－i|＝1可知点z到点(0,1)的距离为1.
【例3】 (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
(1)B [因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B.]
(2)解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝.
2．复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
2．若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________．
[∵z为实数，∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3.∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，
∴z1＝2－5i，∴|z1|＝.]
3．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
[解] 法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－
1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即：
特别提醒：相等向量对应同一个复数．
2．|z|＝1表示复平面上的单位圆.
1．判断正误
(1)复平面内的点与复数是一一对应的．( )
(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
(4)复数与向量一一对应．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
D [由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)，
∴＝－＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D.]
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
A [依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.]
4．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解] 因为z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点在第一象限，所以
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
课时分层作业(八) 复数的几何意义
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. ]
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
D [z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|.]
3．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i，则的模||等于( )
A. B．2
C．4 D.
D [由于OABC是平行四边形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝.]
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得
即z＝＋i.]
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
－2＋3i [∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.]
7．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
12 [由条件，知
所以m＝3，
因此z＝12i，故|z|＝12.]
8．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x＞3.]
三、解答题
9．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，求复数z.
[解] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，＝2，
解得a＝±1，
故a＝－1，
所以z＝－1＋i.
10．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点．
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
∴
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.
[能力提升练]
1．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
B [∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.]
2．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1 B．2
C. D．3
D [∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z－i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，
∴|z－i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.]
3．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________.
±i [因为z为纯虚数，
所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，
所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.]
4．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________．
[∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.]
5．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解] (1)|z1|＝＝2，|z2|＝＝1，
∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
