课件35张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义点击右图进入…Thank you for watching !3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点)
2．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点)
1.通过复数代数形式的加减运算的几何意义，培养数学直观的素养．
2．借助复数代数形式的加减运算提升数学运算的素养.
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有
①z1＋z2＝z2＋z1；
②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]
3．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
1－i [＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]
复数代数形式的加、减运算
【例1】 (1)计算：＋(2－i)－；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
[解] (1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，
解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
复数代数形式的加、减法运算技巧
复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加?减?，虚部与虚部相加?减?.
1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
(1)－2－i (2) [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝.]
复数代数形式加减运算的几何意义
【例2】 (1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝________.
(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求
①所表示的复数，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③对角线所表示的复数及的长度．
(1) [由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.]
(2)解：①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
②∵＝－，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝.
1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解] 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝－＝(x，y)－(1,2)
＝(x－1，y－2)．
＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．
∵＝，∴解得故点D对应的复数为2－i.
复数模的最值问题
[探究问题]
1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？
提示：满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？
提示：∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
【例3】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.]
(2)解：如图所示， ||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
1．若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
[解] 因为|z－3－4i|＝1，
所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，
由几何性质得|z|的最大值是
＋1＝6.
2．若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
1．复数代数形式的加减法满足交换率、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
3．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆．
1．判断正误
(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( )
(2)复数与复数相加减后结果为复数．( )
(3) 复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
5 [|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.]
3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
－1 [z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴
解得a＝－1.]
4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
[解] 向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵＝－，
∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2.
课时分层作业(九) 复数代数形式的加减运算及其几何意义
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A. B．－
C．－ D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
3 [由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以
解得a＝3.]
7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则对应的复数为________．
4－4i [＝－＝－(＋)，对应的复数为3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.]
8．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
－1＋10i [∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.]
三、解答题
9．计算：
(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)；
(2)4－(5＋12i)－i；
(3)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z.
[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i.
(2)4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i.
(3)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，
即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i，因此
解得于是z＝－5＋11i.
法二：由z－(－3＋5i)＝－2＋6i可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)，所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i.
10．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
[解] 如图所示.
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
[能力提升练]
1．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
A [由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
－4i [设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则所以
所以z＝－4i.]
4．若复平面上的?ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数是________．
－1－7i [设AC与BD交于点O，则有＝＋＝＋＝－(＋)．于是对应的复数为－[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i.]
5．设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋1＝(a＋1)＋bi，
又|z|＝|z＋1|＝1，所以
即解得
故|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝|(a－1)＋bi|＝＝＝.
