北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第1讲 等腰三角形(提高,附答案)

等腰三角形（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　/
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
/
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧
相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
/
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝/ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
类型一、等腰三角形中的分类讨论

/1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
/
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
举一反三：

【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长/．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【变式2】在△ABC中，∠A=40°，当∠B=　 　时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40°、70°或100°
提示：分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．
类型二、等腰三角形的操作题
/2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
/
【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图△ABC中的边BC上取一点D，使BD=AD即可；在右图△ABC中的边AC上取一点D，使BD=CD即可．
【答案与解析】
解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，
/
如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，
/
∠BDC=148°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形．
举一反三：
【变式】（2019?温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
/ /
【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．
/ /
类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用
/3、（2019春?威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
/
【思路点拨】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=/×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
【答案与解析】
（1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=/∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=/×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
/，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
/
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有　 　个．
/
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
/4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
/
【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．
【答案与解析】
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF．
【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE．
举一反三：
【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（　　）
/
A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算
【答案】A；
提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．
类型四、含30°角的直角三角形
/5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然
后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
/
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°，即△CAD为等腰三角形，∴AD=CD=13，在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°，∴AB=/AD=/×13=6.5(m)．
【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=/∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=/DB．
/
【答案】
解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，∴△BED≌△AED（ASA），∴AD=BD，∠2=∠B，∵∠BAD=∠2=/∠BAC，∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，在直角三角形ACD中，∠1=30°，∴CD= /AD= /BD．
类型五、反证法
/6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．
【答案与解析】
证明：假设它们所对的边相等；
则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等；
这就与题设两个角不等相矛盾；
因此假设不成立，故原结论成立．
【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
举一反三：
【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设
.
【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )．
A．30° B．36° C．45° D．54°
/
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（ ）
A. a，b没有一个为0
B. a，b只有一个为0
C. a，b至多有一个为0
D. a，b两个都为0
3. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE；
③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
/
4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（　　）
A．顶角的一半 B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（　　）
/
A．/cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
/
二.填空题
7．（2019?通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为　 　．
8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设　 　．
9. 等腰三角形的周长为22/，其中一边的长是8/,则其余两边长分别为________.
10.（2019春?盐城校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t=　 　时，△ABD为等腰三角形．
/
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
/
12. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．
/三.解答题
13. 用反证法证明：一条线段只有一个中点．
14．（2019秋?宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x，2x﹣3，4x﹣6，求这个三角形的周长．
15.（2019秋?东台市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
/

【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】设∠A＝/，则由题意∠ADE＝180°－2/，∠EDB＝/，∠BDC＝∠BCD＝90°－/，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以/＝45°.
2. 【答案】A；
【解析】由于命题：“a，b至少有一个为0”的反面是：“a，b没有一个为0”，故选A.
3. 【答案】C ；
【解析】①②③正确.
4. 【答案】A；
【解析】解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，∴∠ABC=∠C=/在Rt△BDC中，∠CBD=90°-∠C=90°-/=/.故选A．
/
5. 【答案】C；
【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm；
故选：C．
6. 【答案】D;
【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．
二.填空题
7. 【答案】69°或21°；
【解析】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
/
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=/（180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
/
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，
∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=/（180°﹣138°）=21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：69°或21°．
8. 【答案】a=b；
【解析】a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b.
9. 【答案】7/，7/或8/，6/；
【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.
10.【答案】5，6，/；
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，
由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，
有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；
②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，
即（t﹣3）2+42=t2，
解得：t=/，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，/．
11.【答案】40；
【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.
12.【答案】15°；
【解析】设∠A＝/，∠BED＝∠EBD＝2/，∠CBD＝120°－2/，∠C＝∠BDC＝30°＋/，
而∠A＋∠C＝60°，所以/＋30°＋/ ＝60°，解得/＝15°.
三.解答题
13.【解析】
已知：一条线段AB，M为AB的中点．
求证：线段AB只有一个中点M．
证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，
则AM＜AN，
又因为AM=/AB=AN=/AB，
这与AM＜AN矛盾，
所以线段AB只有一个中点M．
14.【解析】
解：①x=2x﹣3，则x=3，
∴4x﹣6=6，
∵3+3=6，
∴3、3、6不能构成三角形；
②x=4x﹣6，则x=2，
∴2x﹣3=1，
∵1、2、2任意两边之和大于第三边，
∴这个三角形的周长为1+2+2=5；
③2x﹣3=4x﹣6，则x=/，
∴2x﹣3=0，
∴此三角形不存在．
综上可知：这个三角形的周长为5．
15．【解析】
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，
∴有勾股定理得PB=2/cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2/=（16+2/）cm；
（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8﹣t+16﹣2t=12，
∴t=4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣8+2t﹣16=12，
∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．