北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第2讲 直角三角形(提高,附答案)

直角三角形----知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……
② 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
③（是自然数）是直角三角形的三条边长；
④（是自然数）是直角三角形的三条边长；
⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中，所以.
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　 　　图（2）中，所以.
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
　　　　 ，所以.
要点三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点五、互逆命题与互逆定理
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.
要点六、直角三角形全等的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】
类型一、勾股定理
1、（2019春?卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________　 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．
【答案】5或．
【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；
综合以上两种情况，第三边的长应为5或，
故答案为5或．
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
2、（2019春?黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．
【答案与解析】
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．
∴x=（cm）．
答：DE的长为cm.
【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．
类型二、勾股定理的逆定理
3、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在Rt△ABD中，．
∴ BD＝4，
∴ ，可知∠ADB＝30°，
在△BDC中，，，
∴ ，∴ ∠BDC＝90°，
∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．
举一反三：
【变式1】△ABC三边满足，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【答案】D；
提示：由题意，，
因为，所以△ABC为直角三角形.
【变式2】（2019春?厦门校级期末）在四边形ABCD中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC的度数．
【答案】
解：连接BD，
∵AB=AD=2，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=2，∠ADB=60°，
∵BC=2，CD=4，
则BD2+CD2=22+42=20，BC2=（2）2=20，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=150°．
类型三、勾股定理、逆定理的实际应用
4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30，另一只猴子从B→D→A也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．
【答案与解析】
解：设树高CD为，则BD＝－10，AD＝30－(－10)＝40－，
在Rt△ACD中，，
解得：＝15．
答：这棵树高15．
【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得：
，
在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：

则AB＝15．
所以需要爬行的最短路程是15．
5、（2019春?武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案与解析】
解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；
1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，
因为AB=20海里，
所以AB2=OB2+OA2，即202=162+122，
所以△OAB是直角三角形，
又因为∠1=45°，
所以∠2=45°，
故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
类型四、原命题与逆命题
6、下列命题中，逆命题错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形
C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】C；
【解析】
解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．
【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．
举一反三：
【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等
C．等腰三角形两底角相等
D．两个全等三角形的对应角相等
【答案】C；
解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．
类型五、直角三角形全等的判定——“HL”
7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD=AE．
【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．
【答案与解析】
证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，∵AE⊥EB，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠EAB=∠DAB；
在△ADB与△AEB中，
∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE．
【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
【答案与解析】
（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△CAF．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△CAF．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF-CF=10-3=7．
【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．
直角三角形——巩固练习（提高）
【巩固练习】
一.选择题
1．若直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值为( )
A.5 B. C.5或 D.7
2．（2019?诏安县校级模拟）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C． D．a=15，b=8，c=17
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
4. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定

6. 下列定理中，有逆定理的是（ ）
A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等
C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角
二.填空题
7．如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C共 个．
8．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则______．

9.（2019春?普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　 　．
10.（2019春?滑县期末）如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为　 　三角形．
11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则
∠BAD＝_______.
12.在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　 　．
三.解答题
13.（2019春?黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．
14.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
15.（2019春?建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为　 　；
（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为　 　；
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】可能是直角边，也可能是斜边.
2.【答案】C；
【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；
B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；
C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；
D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．
故选：C．
3.【答案】C；
【解析】.
4.【答案】C；
【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；因为，所以能组成三角形，②正确；因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确.
5.【答案】A；
【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可
6. 【答案】D.
二.填空题
7. 【答案】8；
【解析】如图所示：有8个点满足要求.
8．【答案】4；
【解析】，故.
9．【答案】AC=DE；
【解析】解：AC=DE，
理由是：∵AB⊥DC，
∴∠ABC=∠DBE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：AC=DE．
10.【答案】直角；
【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
∴三角形为直角三角形．
11.【答案】45°；
【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.
12.【答案】①②．
【解析】解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中，
PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以①AS=AR正确；
因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以∠PAR=∠PAQ，
于是∠RAP=∠QPA，
所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．
故答案为：①②．
三.解答题
13.【解析】
解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，
即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，
由非负数的性质可得：，
解得，
∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即三角形ABC为直角三角形．
14.【解析】
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
15.【解析】
解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC==6（m），
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故AD==4（m），
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案为：（20+4）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．