北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第3讲 线段的垂直平分线(提高)含答案

线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
【学习目标】
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
/
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于/AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点诠释：
(1)作弧时的半径必须大于/AB的长，否则就不能得到两弧的交点了．
(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.
要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点诠释:
1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
3.外心到三顶点的距离相等.
要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.
【典型例题】
类型一、线段的垂直平分线定理
/1.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的
1
2
AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）
/
A、7 B、14 C、17 D、20
【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ ABC的周长．
【答案】C；
【解析】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的
1
2
AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明．已知：线段AB，要作线段AB的垂直平分线．作法：（1）分别以A、B为圆心，大于 /AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D；（2）作直线CD．直线CD?即为所求作的线段AB的垂直平分线．根据上述作法和图形，先填空，再证明．已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=___=___．求证：CD⊥AB，CD平分AB．证明：
/
【答案】
已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．?求证：CD⊥AB，CD平分AB．证明：CD与AB交于点E．∵在△ACD和△BCD中， /∴△ACD≌△BCD（SSS）．?∴∠1=∠2．??∵AC=BC，∴△ACB是等腰三角形．∴CE⊥AB，AE=BE．即?CD⊥AB，CD平分AB．
/
/2.（2019秋?和县期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．
/
【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【答案与解析】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵OB+OC+BC=16cm，
∴OA=0B=OC=5cm；
（3）∵∠BAC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°．
/
【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．
/
【答案】∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴BE+EC=AE+EC=AC．
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23．
要点二、线段的垂直平分线的逆定理
/3.（2019春?鄄城县期中）如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
/
【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．
【答案与解析】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键．
类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
/4.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=/AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
/
【思路点拨】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
【答案与解析】
应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD= /DB=/AB，与已知PD=/AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=/AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，/
①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2， ∴x=/，即PA=/， ②若PA=PC，则PA=2， ③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能． 故PA=2或/．
/
【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．
举一反三：
【变式】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.
/
【答案】40°；
解：∠B=x，∠c=y，则，∠B+∠C=180°-∠BAC，即x+y=70°①，∵DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，∴BE=AE，AG=CG，∴∠BAE=∠B=x，∠CAG=∠C=y，∵∠BAE+∠EAG+∠GAC=∠BAC，∴x+y+∠EAG=110°②，联立①②得，∠EAG=110°-70°=40°．故答案为：40°．
要点四、尺规作图
/5.如图，每个格的单位长度是1，△ABC的外心坐标是 (_____________).
/
【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为△ABC的外心，继而可求得答案．
【答案与解析】
分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（-2，-1）．故答案为：（-2，-1）．
【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）
/
【答案】解：如图，点P就是要找的点.
/
线段的垂直平分线——巩固练习（提高）
【巩固练习】
一．选择题
1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）
/
A、6
3
B、4
3
C、6 D、4
2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）
/
A、6 B、5 C、4 D、3
3.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）
/
A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
/
A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B
5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）
/
A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB
6.（2019秋?陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（　　）
/
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
二．填空题
7．（2019?长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　．
/
8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　_________　．
/
9.（2019?西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______________．
/
10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____　度．
/
11.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　_________　．
/
12.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为　_________　cm．
/
三．解答题：
13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．
/
14.（2019秋?扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．
/
15.（2019秋?农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
/
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】C；
【解析】∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=6．
故选C．
2．【答案】B;
【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA，
而已知线段PA=5，
∴PB=5．
3.【答案】D；
【解析】∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE．
4【答案】B；
【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；
D、根据C的证明过程．故该选项正确．
5.【答案】A；
【解析】∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．
∴AB垂直平分CD．
6.【答案】D；
【解析】解：∵PB=PC，
∴P在线段BC的垂直平分线上，
故选D．
二．填空题
7.【答案】13；
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
8.【答案】6；
【解析】∵ED垂直平分BC，
∴BE=CE，∠EDB=90°，
∵∠B=30°，ED=3，
∴BE=2DE=6，
∴CE=6．
9.【答案】/；
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD，
设CD=x，则BD=4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，
解得x=/．
故答案为：/．
10.【答案】60；
【解析】由AB=AC，∠BAC=120°，
可得∠B=30°，
因为点D是AB的垂直平分线上的点，
所以AD=BD，
因而∠BAD=∠B=30°，
从而∠ADC=60度．
11.【答案】8；
【解析】∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，
∴AD=BD，AE=CE
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．
△ADE的周长等于8．
12.【答案】13；
【解析】∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足
∴AD=DC，AC=2AE=6，
∵△ABC的周长为19，
∴AB+BC=13(cm).
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)．
三．解答题
13.【解析】
证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD，∵在△DBH和△DCA中 /∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC． / /

（2）连接CG，∵∠ABC=45°，CD⊥AB（∠CDB=90°），∴∠BCD=45°=∠ABC，∴DB=CD，∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．
14. 【解析】
证明：连接CD，
∵AC=BC，AD=BD，
∴C在AB的垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=/∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=∠ACD=45°，
∴CE=DE，
∴DE=AE+AC=AE+BC．
/
15. 【解析】
解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．