北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 角的平分线的性质(提高,附答案)

角的平分线的性质（提高）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.　　（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质及判定
1、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．
【答案与解析】
证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC，
∴CE=ED．
【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
举一反三：
【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：BE＝CF.
【答案】
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE与Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE＝CF
2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7 D.3.5
【答案】 B；
【解析】
解： 过D点作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF＝DH
在Rt△EDF和Rt△GDH中
DE＝DG，DF＝DH
∴Rt△EDF≌Rt△GDH
同理可证Rt△ADF和Rt△ADH
∴
∴＝50－39＝11，
∴△EDF的面积为5.5
【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.
3、（2019?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【思路点拨】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.
【答案与解析】
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
类型二、角的平分线的性质综合应用
4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.
【思路点拨】在BA的延长线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个△PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接PD.
∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2
∵在△PAD和△PAC中
∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC
∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD
∴PB＋PC＞AB＋AC.
②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.
综上，PB＋PC≥AB＋AC.
【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.
举一反三：
【变式】如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
【答案】
证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
【巩固练习】
一.选择题
1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分
∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, 　(2)AE＝CE 　(3)OA＝OB＝OD＝OE 　(4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（ ）
　 A.1 　 　 　B.2 　 　 　C.3 　　 　D.4
2.（2019?招远市模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB＝（ ）
A.50° B.45° C.40° D .35°
4. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①② D.①②③
5.（2019春?成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
6．中，AD是的平分线，且.若，则 的大小为 （ ）?
A． B． C． D．
二.填空题
7. 在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为 .
8. 如图，已知在中，平分，于，若，则的周长为 ．
9.（2019?邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　 　．
10.（2019春?海门市期末）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为　 　．
11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠CBD＝20°，则∠CED＝__________.
三.解答题
13．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.
求证：CM＝CN．
14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°
求证：2AE=AB+AD．
15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】（1）（2）（4）是正确的.
2.【答案】B；
【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故选：B．
3.【答案】B；
【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.
4.【答案】C；
【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠BAP，所以②正确.
5.【答案】D；
【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选D．
6.【答案】A；
【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，
2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.
二.填空题
7. 【答案】1；
【解析】由题意设DE＝CE＝，BC＝BD＝AD＝，AE＝2，AC ＝3＝3，＝1.
8. 【答案】15；
【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15.
9. 【答案】30
【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
=×（AB+BC+AC）×3
=20×3=30
10.【答案】；
【解析】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵AB=4，△ABD的面积为3，
∴S△ABD=AB?DE=×4×DE=3，解得DE=；
∴DF=，
∵AC=2，
∴S△ACD=AC?DF=×2×=．
故答案为：．
11.【答案】35°；
【解析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°.
12.【答案】10°；
【解析】考虑△BDC中， EC 是∠C的平分线， EB是∠B的外角平分线， 所以E是△BDC的一个旁心， 于是ED平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝∠ADB － ∠DCB ＝∠DBC ＝ ×20°＝ 10°.
三.解答题
13.【解析】
证明：∵OD平分∠POQ
∴∠AOD＝∠BOD
在△AOD与△BOD中
∴△AOD≌△BOD（SAS）
∴∠ADO＝∠BDO
又∵CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.
∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
14.【解析】
证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC，
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE
∴2AE=AB+AD
15.【解析】DE＝DF.
证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DM＝DN
∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝180°
又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180°
∴∠1＝∠4
在Rt△DEM与Rt△DFN中

∴Rt△DEM≌Rt△DFN （ASA）
∴DE＝DF