北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 不等式及其性质(提高)含答案

不等式及其性质（提高）知识讲解

【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
知识点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).
【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．
【答案】D.
【解析】
解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对．
【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．
举一反三：
【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　）.
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■
【答案】C.
类型二、不等式的基本性质
2.下面四个命题：（1）,则；（2），则；（3）若，则；（4）若，则.其中正确的个数是（ ）.
A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B.
【解析】(1)由得，因为>0,所以，正确；
（2）因为，当时，，所以错误；
（3）因为，当时，没有意义，而当时，，所以错误；
（4）因为，所以，，正确.
【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.
举一反三：
【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b
【答案】D.
【变式2】若点P（1﹣m，m）在第一象限，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为　 　．
【答案】x＜﹣1.
解：∵点P（1﹣m，m）在第一象限，
∴1﹣m＞0，
即m﹣1＜0；
∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m，
∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1），
不等式两边同时除以m﹣1，得：
x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
3.设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝，N＝，P＝，
试比较M、N、P的大小．
【答案与解析】∵a+b+c=-1，∴b+c=-1-a，∴M==?1?，同理可得N=?1?，P=?1?；又∵a＞0＞b＞c，∴＞0＞＞，∴?1?＜?1＜?1?＜?1?即M＜P＜N．
【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
4.（2019春?唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【答案与解析】
解：∵x﹣y=﹣3，
∴x=y﹣3．
又∵x＜﹣1，
∴y﹣3＜﹣1，
∴y＜2．
又∵y＞1，
∴1＜y＜2，…①
同理得﹣2＜x＜﹣1…②
由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．
∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．
【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
不等式及其性质（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列不等式中，一定成立的有( ).
①5＞-2；②；③x+3＞2；④+1≥1；⑤．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.若a+b＞0，且b＜0，则a，b，-a，-b的大小关系为（　 ）.
A．-a＜-b＜b＜a B．-a＜b＜-b＜a C．-a＜b＜a＜-b D．b＜-a＜-b＜a
3．若a＜b，则下列不等式：①；②；
③．其中成立的有( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是( ).
A． B． C． D．
5.已知a、b、c、d都是正实数，且<，给出下列四个不等式：①；②；③；④其中不等式正确的是（　 ）.
A. ①③ B．①④ C．②④ D．②③
6．（2019春?丰台区期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得﹣a＜﹣b
C．由a＞b，得 D．由a＞b，得ac＞bc
二、填空题
7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m，则用不等式表示图中标志的意义为________．
8．(1)若，则a_________b；
(2)若m＜0，ma＜mb，则a_________b．
9．已知，若y＜0，则m________．
10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．
11．（2019春?济南校级期末）下列判断中，正确的序号为　 　．
①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．
12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．
三、解答题
13．用不等式表示：
(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式；
(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．
14．若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．
15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．
(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；
(2)比较a+b与a-b的大小；
(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】一定成立的是：①④⑤；
2. 【答案】B.
3. 【答案】A ；
【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立.
4. 【答案】C；
【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤.
5.【答案】A；
【解析】∵<，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），∴，所以①正确，②不正确；∵<，a、b、c、d都是正实数，∴ad＜bc，∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），∴，所以③正确，④不正确． 故选A．
6.【答案】B．
【解析】A、a＞b，得a﹣2＞b﹣2，错误；
B、a＞b，得﹣a＜﹣b，正确；
C、a＞b，得，错误；
D、当c为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B.
二、填空题
7. 【答案】x≤4；
8. 【答案】(1)＜， (2)＞；
【解析】（1）两边同乘以（）；（2）两边同除以.
9. 【答案】＞8；
【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8.
10．【答案】.
11.【答案】①④⑤
【解析】解：∵﹣a＞b＞0，∴a＜0，b＞0，∴ab＜0，①正确；
∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，②错误；
∵a＞b，c≠0，∴c＞0时，ac＞bc；c＜0时，ac＜bc；③错误；
∵a＞b，c≠0，∴c2＞0，∴ac2＞bc2，④正确；
∵a＞b，c≠0，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a﹣c＜﹣b﹣c，⑤正确．
综上，可得正确的序号为：①④⑤．
12.【答案】9≤m＜12；
【解析】3x-m≤0，x≤，3≤＜4，∴ 9≤m＜12.
三、解答题
13.【解析】
解：(1)16×6+(31-16-3)x＞198;
(2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1.
14.【解析】
解：a＞b，
当c＞0时，ac＞bc，
当c=0时，ac=bc，
当c＜0时，ac＜bc．
15.【解析】
解：(1)．
∴ ．
(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b；
当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b；
当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b．
(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；
当a＝b时，3a+2b＝2a+3b；
当a＜b，3a+2b＜2a+3b．