北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 一元一次不等式(提高,附答案)

一元一次不等式的解法（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；
2.能够熟练解一元一次不等式；
3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
【要点梳理】
要点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，/是一个一元一次不等式．
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：/（或/）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为/（或/）的形式（其中/）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
要点三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
/
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
/1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1）/ （2）/ （3）/ （4）/ （5）/
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是1次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等式，是一元一次方程．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
/2.求不等式/﹣/≤/的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．
【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数．
【答案与解析】
解：原不等式可化为：/﹣/≤/去分母，
得6（4x﹣10）﹣15（5﹣x）≤10（3﹣2x）
去括号，得24x﹣60﹣75+15x≤30﹣20x
移项，得24x+15x+20x≤30+60+75
合并同类项，得59x≤165
把系数化为1，得x≤/，
解集x≤/的非负整数解是：0，1，2，
数轴表示是：
/
【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．
举一反三：
【变式1】解不等式：/
【答案】
解：去括号，得/
移项、合并同类项得：/
系数化1，得/
故原不等式的解集是/.
【变式2】代数式/的值不大于/的值，求x的范围．
【答案】
解：根据题意得：解不等式/≤/，
去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x），
去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x，
移项得：4x﹣9x≤2﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣5x≤﹣7，
解得：x≥/．
/3.m为何值时，关于x的方程：/的解大于1？
【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
/
由/
解得m＞2
【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．
举一反三：
【变式】已知关于/方程/的解是非负数，/是正整数，则/ ．
【答案】1或2.
/4.（2019?杭州模拟）若关于x，y的二元一次方程组/的解满足x﹣y＞﹣3.5，求出满足条件的m的所有正整数解．
【思路点拨】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】
解：由方程组/的两个方程相减得：x﹣y=﹣0.5m﹣2
∴﹣0.5m﹣2＞﹣3.5，
∴m＜3，
∴满足条件的m的所有正整数解为m=1，m=2．
【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出/的具体值．能得出关于m的不等式是解此题的关键．
类型二、不等式的解及解集
/5.若关于/的不等式/只有三个正整数解，求/的取值范围.
【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．
【答案】/.
【解析】
解：∵不等式/只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，∴/，
【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．
举一反三：
【变式】已知/的解集中的最大整数为3，则/的取值范围是 ．
【答案】/.
类型四、逆用不等式的解集
/6. 若关于/的不等式/的解集为/，则关于/的不等式/的解集 ．
【思路点拨】先根据第一个不等式确定/的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．
【答案】/.
【解析】
解：由/的解集为/可知得：/，/，即/
将上式代入/，
化简整理得：/，又/
所以/.
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定/．
一元一次不等式的解法（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．已知关于x的不等式/是一元一次不等式，那么m的值是( ) .
A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝-1 D．不能确定
2．由/得到/，则a应该满足的条件是（ ）.
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意实数
3．已知/，/，如果/，则x的取值范围是（ ）.
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＜-2
4．设a，b是常数，不等式/+/＞0的解集为x＜/，则关于x的不等式bx-a＜0的解集是（　　）
A．x＞/ B．x＜-/ C．x＞-/ D．x＜/
5．（2019?南充）不等式/＞/﹣1的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.关于/的不等式/的解集如图所示，则/的值是（ ）.
/
A．0 B．2 C． -2 D．-4
二、填空题
7．（2019?绍兴）不等式/＞/+2的解是　　 ．
8．若不等式（3m-2）x＜7的解集为x＞/，则m的值为　 ．
9．比较大小：/________/.
10．已知-4是不等式/的解集中的一个值，则/的范围为________.
11．若关于x的不等式/只有六个正整数解，则a应满足________.
12.已知/的解集中的最小整数为/，则/的取值范围是 .
三、解答题
13．若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．
14.当x为何值时，代数式-/x+3的值比6x-3的值大．
15.当/时，求关于x的不等式/的解集．
16.已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】/，所以/；
2. 【答案】C；
【解析】由/得到/，不等式两边同乘以/，不等号方向没变，所以/；
3. 【答案】B；
【解析】/，即/，解得：/.
4. 【答案】B；
【解析】解：解不等式/+/＞0，
移项得：/＞-/，
∵解集为x＜/，
∴-/=/，且a＜0．
∴b=-5a＞0，/=-/．
解不等式bx-a＜0，
移项得：bx＜a，
两边同时除以b得：x＜/，
即x＜-/．
故选B．
5.【答案】D．
【解析】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，
去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，
移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣x＞﹣5，
系数化为1得：x＜5，
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个.
6. 【答案】A；
【解析】因为不等式/的解集为/，再观察数轴上表示的解集为/，因此/，解得/
二、填空题
【解析】去分母，得：3（3x+13）＞4x+24，
去括号，得：9x+39＞4x+24，
移项，得：9x﹣4x＞24﹣39，
合并同类项，得：5x＞﹣15，
系数化为1，得：x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
8. 【答案】-/；
【解析】解：∵（3m-2）x＜7的解集为x＞/，
∴x＞/，
∴/=-/，解得m=-/．
故答案为：-/．
9. 【答案】＞；
【解析】/，
所以/.
10．【答案】/；
【解析】将-4代入得：/，所以/.
11.【答案】/；
【解析】由已知得：/，/，即/.
12.【答案】/
【解析】画出数轴分析得出正确答案.
三、解答题
13.【解析】
解：/
∴(－m2－1)x＞n ，
两边同除以负数（－m2－1）得：/.
∴原不等式的解集为：/.
14.【解析】
解：由题意得，-/x+3＞6x-3，
去分母得，-x+18＞6（6x-3），
去括号得，-x+18＞36x-18，
移项得，-x-36x＞-18-18，
合并同类项，-37x＞-36，
把x的系数化为1得，x＜/．
因此，当＜/ 时，代数式-/x+3的值比6x-3的值大．
15.【解析】
解：/
/
/
/
/
/
/．
16.【解析】
解：/,当/时，/；当/时，/；当/时，/.