北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第9讲 一次函数与一元一次不等式(提高,附答案)

一次函数与一元一次不等式（提高）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为/＞0或/＜0或/≥0或/≤0（/、/为常数，/≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数/的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于/的一元一次不等式/＞0（/≠0）的解集，从“数”的角度看，就是/为何值时，函数/的值大于0.从“形”的角度看，确定直线/在/轴（即直线/＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
/（/≠/，且/）的解集//的函数值大于/的函数值时的自变量/取值范围/直线/在直线/的上方对应的点的横坐标范围．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次不等式
/1、已知一次函数/的图象过第一、二、四象限，且与/轴交于点（2，0），则关于/的不等式/＞0的解集为（　　）
A．/＜－1 B．/＞－1 C．/＞1 D．/＜1
【答案】A；
【解析】∵一次函数/的图象过第一、二、四象限，∴/＞0，/＜0，
把（2，0）代入解析式/得：0＝2/＋/，
解得：/＝－2，∵/＞0，
∴/，
∴/－1＜/，
∴/＜－1，
【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出/、/的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线/与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式/＋3≥0的解集是（　　）
A．/≥0 B．/≤0 C．/≥2 D．/≤2
/
【答案】A；
提示：从图象上知，直线/的函数值/随/的增大而增大，与/轴的交点为B（0，－3），即当/＝0时，/＝－3，所以当/≥0时，函数值/≥－3．
/2、（2019?武汉模拟）已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集．
【思路点拨】（1）把两组对应值分别代入y=kx+b得到关于k、b的方法组，然后解方程组求出k和b，从而可确定一次函数解析式；（2）解一元一次不等式2x﹣1≤7即可．
【答案与解析】
解：（1）根据题意得/，解得/，
所以一次函数解析式为y=2x﹣1；
（2）解2x﹣1≤7得x≤4．
【总结升华】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
举一反三：
【变式】（2019春?成武县期末）如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，
（1）求直线y=kx+b的表达式；
（2）求不等式/x＞kx+b＞﹣2的解集．
/
【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，
∴代入得：/，
解得：k=1，b=﹣1．
∴直线y=kx+b的表达式为y=x﹣1；
（2）由（1）得：/x＞x﹣1＞﹣2，
即/，
解得：﹣1＜x＜2．
所以不等式/x＞kx+b＞﹣2的解集为﹣1＜x＜2．
/3、（2019春?乳山市期末）如图，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y=1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞﹣/．
（1）分别求出k，b，m的值；
（2）求S△ACD．
/
【思路点拨】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞﹣/得到点D的横坐标，进而确定点D的坐标，再代入解析式求m的值．
（2）收下确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【答案与解析】
解：（1）∵直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3），
/，解得：k=/，b=3，
∴y=/x+3
∵关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞﹣/，
∴点D的横坐标为﹣/，
将x=﹣/代入y=/x+3，得：y=/，
强x=﹣/，y=/代入y=1﹣mx，
解得：m=1；
（2）对于y=1﹣x，令y=0，得：x=1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴S△ACD=/×[1﹣（﹣2）]×/=/．
【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题
/4、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为/分钟，甲、乙两种业务的费用分别为/和/元．
(1)试分别写出/、/与/之间的函数关系式；
(2)画出/、/的图象；
(3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠?
【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)，然后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择．
【答案与解析】
解：(1)根据题意可得：/(/≥0)，/(/≥0)．
(2)利用两点可画/(/≥0)和/(/≥0)的图象，如下图所示．
/
(3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当/＝50时，两个函数的值都等于30．因此一个月内，通话时间为50分钟．选哪一种通话业务都行，因为付费都是30元，当一个月内通话时间低于50分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月内通话时间大于50分钟时，选甲种业务更优惠．
【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择．
【巩固练习】
一.选择题
1.（2019春?玉环县期中）如图，已知一次函数y=kx+b的图象，当x＜0，y的取值范围是（　　）
/
A．y＞0 B．y＜0 C．y＜﹣2 D．2＜y＜0
2. 已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与轴交于点（－2，0），则不等式的解集为（　　）
A．＞－2 B．＜－2 C．＞2 D．＜2
3. 观察下列图象，可以得出不等式组/的解集是（　　）
A．＜/ B．/＜＜0 C．0＜＜2 D．/＜＜2
/
4. 已知，，当＞－2时，＞；当＜－2时，＜，则直线和直线的交点是（　　）
A．（－2，3） B．（－2，－5） C．（3，－2） D．（－5，－2）
5. 一次函数与的图象如图，则下列结论中①＜0；②＞0；③当＜3时，＜；④方程组/的解是/．正确的个数是（　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
/
6. （2019?长沙模拟）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+3n（n≠0）的交点的横坐标为﹣1，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+3n＞0的整数解为（　　）
/
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣2
二.填空题
7. 如图，直线与轴交于（0，3），则当＜0时，的取值范围是______．
/
8. （2019?徐汇区二模）如果直线y=kx+b（k＞0）是由正比例函数y=kx的图象向左平移1个单位得到，那么不等式kx+b＞0的解集是　 　．
9. 一次函数（，都是常数）的图象过点P（－2，1），与轴相交于A（－3，0），则根据图象可得关于的不等式组0≤＜－/的解集为________.
/
10.如图，函数和的图象相交于点A（，3），则不等式的解集为___________.
/
11.（2019?杭州模拟）已知直线y1=x，/，/的图象如图，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为　 　．
/
12.如图，直线/过点A（0，2），且与直线/交于点P（1，）,则不等式组/的解集是__________.
/
三.解答题
13. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式＞的解集：
（2）设直线与轴交于点A，求△OAP的面积．
/
14.（2019?济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
15.已知一次函数的图象经过点（－1，－5），且与函数的图象相交于点A(，)．
（1）求的值；
（2）求不等式组0＜＜的正整数解；（3）若函数图象与轴的交点是B，函数的图象与轴的交点是C，
求四边形ABOC的面积．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】解：由函数图象可以看出，当x＜0时，y＜﹣2，故选C．
2. 【答案】C；
【解析】把点（－2，0），代入即可得到：＝0．即＝0．不等式的解集就是求函数＞0，与平行，与轴交于（2，0），故当＞2时，不等式成立．则不等式的解集为＞2．
3. 【答案】D；
【解析】＞0的解集即为的函数值大于0的对应的的取值范围，第二个不等式的即为直线的函数值大于0的对应的的取值范围，求出它们的公共解集即可．
4. 【答案】A；
【解析】由已知得，当＝－2时，两函数值相等，将＝－2代入或中得：＝＝3，∴两直线交点坐标为（－2，3）．
5. 【答案】B；
【解析】①④正确；根据和的图象可知：＜0，＜0，所以当＜3时，相应的的值，图象均高于的图象．根据交点坐标的值也就是满足函数解析式组成方程组的值，所以方程组的解也就是交点的坐标．
6.【答案】D；
【解析】∵直线y=﹣x+m与y=nx+3n的交点的横坐标为﹣1，∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+3n的解集为x＜﹣1，∵y=x+3=0时，x=﹣3，∴nx+3n＞0的解集是x＞﹣3，∴﹣x+m＞nx+3n＞0的解集是﹣3＜x＜﹣1，所以不等式﹣x+m＞nx+3n＞0的整数解为﹣2.
二.填空题
7. 【答案】＞3；
【解析】＜0所对应的图象在轴的左边，即＞3.
8. 【答案】x＞﹣1；
【解析】∵直线y=kx+b（k＞0）是由正比例函数y=kx的图象向左平移1个单位得到，
∴y=kx+b经过（﹣1，0），∴不等式kx+b＞0的解集是：x＞﹣1．
9. 【答案】－3≤＜－2；
【解析】先用待定系数法求出一次函数的待定系数，然后再将、的值代入不等式组中进行求解．
10.【答案】；
【解析】∵函数和的图象相交于点A（，3），∴3＝2，，∴点A的坐标是（，3）∴不等式的解集为.
11.【答案】2；
【解析】解：根据题意，y的最大值为直线y2与y3的交点的纵坐标，
联立/，
解得/，
所以，当x=3时，y的值最大，为2．
故答案为：2．
/
12.【答案】1＜＜2；
【解析】由图象可知＜0，＝2，＞0，，即，由/得，即2＞2，＞1.由/得，即＜2.故所求解集为1＜＜2.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）从图象中得出当＞1时，直线：在直线：的上方，
∴不等式＞的解集为：＞1；
（2）把＝1代入，得＝2，∴点P（1，2），
∵点P在直线上，∴2＝＋3，解得：＝－1，
∴，当＝0时，由0＝－＋3得＝3，
∴点A（3，0），
∴＝/×3×2＝3．
14.【解析】
解：（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，
根据题意得：
/，
解得：65≤x≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
（2）设总利润为W元，
W=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）
即w=（10﹣a）x+3000．
①当0＜a＜10时，10﹣a＞0，W随x增大而增大，
∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；
②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜a＜20时，10﹣a＜0，W随x增大而减小．
当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．
15.【解析】
解：（1）把(，)代入解析式
得到：；
（2）由（1）得，，∴0＜
解得：，
∴正整数解为；
（3）直线与轴交于点C（0，1），直线与轴交于点B()，
∴.