2.3 排序不等式:19张PPT

课件19张PPT。1.了解排序不等式的数学思想和背景.
2.了解排序不等式的结构与基本原理.
3.理解排序不等式的简单应用.1.排序不等式
定义:设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+…+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1bn+a2bn-1+…+anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称a1c1+a2c2+…+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).
定理(排序原理,又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,则有a1bn+a2bn-1+…+anb1
≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)?a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn.
排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和.名师点拨(1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.对于排序原理的记忆,我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系.
(2)学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增加或同时减少)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列.【做一做1-1】 已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值分别是(　　)
A.132,6 B.304,212
C.22,6 D.21,36
解析:由排序不等式可知,最大值应为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.
答案:B【做一做1-2】 设a1,a2,a3∈(0,+∞),且a1,a2,a3的任一排列为 A.3 B.6 C.9 D.12 答案:A 2.切比晓夫不等式
设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn为任意两组实数,上述两式中等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.【做一做2】 已知a1,a2,a3;b1,b2,b3∈R,且a1≤a2≤a3,b1≥b2≥b3,则3(a1b1+a2b2+a3b3)　　　　　(a1+a2+a3)·(b1+b2+b3)(填“>,≥,<,≤,=”号).?
解析:由a1≤a2≤a3,b1≥b2≥b3,
根据切比晓夫不等式可知即3(a1b1+a2b2+a3b3)≤(a1+a2+a3)(b1+b2+b3),
当且仅当a1=a2=a3或b1=b2=b3时等号成立.
答案:≤1.对排序不等式的证明如何理解?
剖析:在排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.
对于出现的“逐步调整比较法”,则要引起注意,研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.2.排序原理的思想是什么?
剖析:在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.题型一题型二题型三题型四所证不等式中字母的大小顺序已确定的情况 分析:由于题目条件中已明确a≥b>0,因此可以直接构造两个数组证明.反思可以直接利用a≥b>0这一条件构造两个数组,用排序不等式证明.题型一题型二题型四题型三需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况 题型一题型二题型四题型三反思利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键.题型一题型二题型三题型四对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论
【例3】 若x>0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
分析:题目中只给出了x>0,但对于x≥1,x<1没有明确,因而需要进行分类讨论.
证明:(1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤xn,由排序原理:顺序和≥反序和,得1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,
即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.①
因为x,x2,…,xn,1为序列1,x,x2,…,xn的一个排列,所以再次由排序原理:乱序和≥反序和,得
1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1
≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,
得x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.②
将①和②相加,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.③题型一题型二题型三题型四(2)当0x>x2>…>xn,
但①②仍然成立,于是③也成立.
综合(1)(2),可知1+x+x2+…+xn≥(2n+1)xn.
反思在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点:应用排序不等式时,因忽视等号成立的条件致错.
【例4】 已知a1,a2,a3,b1,b2,b3∈[1,2],且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围.
错解:不妨设1≤a1≤a2≤a3≤2,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1≤c1≤c2≤c3≤2,
则a1c3+a2c2+a3c1≤a1b1+a2b2+a3b3≤a1c1+a2c2+a3c3,∴3≤a1b1+a2b2+a3b3≤12.
∴a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为[3,12].
错因分析:由于a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3也不全相等,因此排序不等式中的等号不成立.题型一题型二题型三题型四正解:(以上解答同错解中的过程)
∴3≤a1b1+a2b2+a3b3≤12.
又∵a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3不全相等,
∴等号不成立.
∴a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).1 2 31设a,b∈(0,+∞),P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q之间的大小关系是(　　)
A.P>Q B.P≥Q
C.P答案:B1 2 32设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则 答案:B 1 2 33车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每台机床停产1 min损失5元,如果一次只能修理1台机床,则经合理安排损失最少为(　　)元.
A.420 B.400
C.450 D.570
解析:利用排序原理求得5台机床修复时间最少为84 min,所以最少损失为84×5=420元.
答案:A