2.4 平均值不等式(选学):19张PPT

课件19张PPT。1.了解算术平均,几何平均,调和平均的概念.
2.理解定理的意义及作用,了解定理的推证过程.
3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题.1.有关概念 2.定理
定理1(算术—几何平均值不等式,简称平均值不等式)(2)推论1:设a1,a2,…,an为n个正数,且a1a2…an=1,则a1+a2+…+an≥n,且等号成立?a1=a2=…=an=1.
(3)推论2:设C为常数,且a1,a2,…,an为n个正数,则当a1+a2+…+an=nC时,a1a2…an≤Cn,且等号成立?a1=a2=…=an.定理2 定理3 加权平均不等式 【做一做1】 下列命题是假命题的是(　　) 答案:A 【做一做2】 已知x,y,z∈(0,+∞),且2x+3y+5z=6,则xyz的最大值为　　　　　.?平均值不等式的应用条件是什么?
剖析:“一正”:不论是三个数还是n个数的平均值不等式,都要求这三个数或者n个数都是正数,否则不等式是不成立的;“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值,二是已知乘积a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值;“三相等”:取等号的条件是a1=a2=…=an,不能只有其中一部分相等.题型一题型二题型三题型四利用平均值不等式证明不等式 分析:观察求证式子的结构,通过变形转化为用平均值不等式证明.题型一题型二题型三题型四反思不等式的证明方法较多,关键是从式子的结构入手进行分析,找到证明不等式的突破口,使其出现平均值不等式的形式.题型一题型二题型四题型三利用平均值不等式求最值 分析:对于x2(1-5x),视x2与1-5x为两项,其和不可能为定值,应把x2拆为两项x,x,故x,x,(1-5x)这三项同时配系数才能使和为定值.题型一题型二题型四题型三反思本题采用的方法是拆项,把x2变为x,x,再配系数的方法,请思考采用下面的变形错在什么地方?题型一题型二题型三题型四平均值不等式的应用
【例3】 某同学在电脑城组装了一台电脑,总费用为3 600元.假定在电脑的使用过程中,维修费平均为:第一年200元,第二年400元,第三年600元,依等差数列逐年递增,问:这台电脑使用多少年报废最合算?
分析:要求电脑使用多少年报废最合算,实际上是求使用多少年的平均费用最少,这种年平均费用一般由两部分组成:一部分是电脑成本的平均值,另一部分是电脑维修费用的平均值.这样,电脑的最值报废年限,即:
年平均消耗费用=年均成本费+年均维修费,
电脑最佳报废年限=年均消耗费用最低的年限.
因此,需建立年平均费用y与使用年数x的函数关系式.题型一题型二题型三题型四所以当x=6(年)时,y有最小值,即这台电脑使用6年报废最合算.题型一题型二题型三题型四易错辨析
易错点:忽视应用平均值不等式求最值应具备的“一正、二定、三相等”而致错.题型一题型二题型三题型四1 2 3 41若x,y∈R,且xy>0,x2y=2,则xy+x2的最小值是　　　　　.? 答案:3 1 2 3 41 2 3 41 2 3 44求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.
证明:设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x,y,z,则长方体的体积为V=xyz,表面积A=2xy+2yz+2zx,根据平均值不等式,