3.2 用数学归纳法证明不等式, 贝努利不等式:19张PPT

课件19张PPT。1.会用数学归纳法证明简单的不等式.
2.会用数学归纳法证明贝努利不等式.
3.了解贝努利不等式的应用条件.1.用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中,有多种多样的方法,其中数学归纳法是最常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导“k+1”成立时,比较法、分析法、综合法、放缩法等方法常被灵活地应用.
【做一做1-1】 欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,n0为验证的第一个值,则(　　)
A.n0=1
B.n0为大于1小于10的某个整数
C.n0≥10
D.n0=2
解析:n=1时,2>1;n=2时,4<8;n=3时,8<27;n=4时,16<64;n=5时,32<125;n=6时,64<216;n=7时,128<343;n=8时,256<512;n=9时,512<729;n=10时,1 024>1 000.故选C.
答案:C【做一做1-2】 用数学归纳法证明“ n∈
N*,n>1)”时,由n=k(k>1)时不等式成立推证n=k+1时,左边应增加的项数是(　　)
A.2k-1 B.2k-1
C.2k D.2k+1
解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.
答案:C2.用数学归纳法证明贝努利不等式
(1)定理1(贝努利不等式):设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则(1+x)n>1+nx.
(2)定理2:设α为有理数,x>-1,①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;②若α<0或者α>1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立.
名师点拨当指数推广到任意实数且x>-1时,
①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;
②若α<0或者α>1,则(1+x)α≥1+αx.
当且仅当x=0时等号成立.应用数学归纳法证明不等式,从“n=k”到“n=k+1”证明不等式成立的技巧有哪些?
剖析:在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.题型一题型二题型三用数学归纳法证明数列型不等式 (1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.
分析:由题设条件知,可用构造新数列的方法求得an;第(2)问的证明,可以等价变形,视为证明新的不等式.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+1的变形.为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放缩要有度,这是一个难点,解决这类问题一是要仔细观察题目的结构,二是要靠经验积累.题型一题型二题型三用数学归纳法比较大小 分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.题型一题型二题型三当n=1时,21=2>12=1;
当n=2时,22=4=22;
当n=3时,23=8<32=9;
当n=4时,24=16=42;
当n=5时,25=32>52=25;
当n=6时,26=64>62=36.
故猜测当n≥5(n∈N*)时,2n>n2.
下面用数学归纳法进行证明:
(1)当n=5时,显然成立.
(2)假设当n=k(k≥5,且k∈N*)时,不等式成立,
即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,
2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1
=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).题型一题型二题型三反思利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明方向,再利用数学归纳法证明结论成立.题型一题型二题型三用数学归纳法证明探索型不等式 题型一题型二题型三(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,题型一题型二题型三反思用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:观察——归纳——猜想——证明,即先通过观察部分项的特点进行归纳,判断并猜测出一般结论,然后用数学归纳法进行证明.1 2 3 41.下列选项中,满足1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)>3n2-3n+2的自然数n是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:将n=1,2,3,4分别代入验证即可.
答案:D1 2 3 4答案:C 1 2 3 41 2 3 4