高中数学选修4-5第三章　数学归纳法与贝努利不等式本章整合3:17张PPT

课件17张PPT。专题专题　数学归纳法证题的常用技巧
在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步,验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.
1.分析综合法
用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.专题专题专题专题?2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)
?2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0
?ak+1-abk-bak+bk+1≥0
?(a-b)(ak-bk)≥0.
因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,即当n=k+1时,不等式成立.专题2.放缩法
涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.专题专题3.递推法
用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.专题即当n=k+1时,原不等式也成立.
根据(1)(2)可知,当n∈N*时,原不等式都成立.专题4.构造配凑法
用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过渡到“k+1”常常用构造配凑法.
应用5求证:62n+3n+2+3n是11的倍数(n∈N*).
证明:(1)当n=1时,62×1+31+2+31=66,是11的倍数.
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,命题成立,
即62k+3k+2+3k是11的倍数.则当n=k+1时,
62(k+1)+3k+3+3k+1=62k+2+3k+3+3k+1=36·62k+3·3k+2+3·3k
=33·62k+3·62k+3·3k+2+3·3k=33·62k+3(62k+3k+2+3k).
由假设可知3(62k+3k+2+3k)是11的倍数,而33·62k也是11的倍数,故n=k+1时,原命题也成立.
根据(1)(2)可知,对任意n∈N*原命题成立.专题5.几何法
“几何类”命题的证题关键是先要从证明当n=k+1时命题成立的结论中,分解出当n=k时命题成立的部分,然后去证余下的部分.
应用6在同一平面内有n条直线,每两条不平行,任意三条不共点,求证:它们将此平面分专题(湖北高考)(1)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0(2)试用(1)的结果证明如下命题:
设a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则 ≤a1b1+a2b2;
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:当α为正有理数时,有求导公式(xα)'=αxα-1.解:(1)f'(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),
令f'(x)=0,解得x=1.
当0当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.
故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(ⅱ)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为正有理数,又(1-bk+1)+bk+1=1,由②得 bk+1)+ak+1bk+1
=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1,故当n=k+1时,③成立.
根据(ⅰ)(ⅱ)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.
说明:(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.