匀变速直线运动的速度与时间的关系
考点突破
此部分内容在高考物理中的要求如下：
知识点
考纲要求
题型
分值
匀变速直线运动的速度与时间的关系
掌握匀变速直线运动速度与时间关系及其公式
选择题、解答题
2~3分
二、重难点提示
重点：对匀变速直线运动速度时间关系的灵活应用。
难点：平均速度、中间时刻速度之间的关系。
要点一 匀变速直线运动的速度时间关系
（1）用公式表达匀变速直线运动速度与时间的关系
①由可得：；
②写出图象的方程。
（2）只适用于匀变速直线运动。
（3）矢量表达式，取v0的方向为正，加速运动则a取正值，减速运动则a取负值。
要点二 平均速度和中间时刻速度
（1）设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，经时间t后末速度为v，并以表示这段时间中间时刻的瞬时速度。由
，，可得
（2）因为匀变速直线运动的速度随时间是均匀变化的，所以它在时间t内的平均速度，就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即
，则。
例题1 物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5m/s，经3s到达B点时的速度为14m/s，再经过4s到达C点，则它到达C点时的速度为多大？
思路分析：在物体由A点到B点的运动阶段，应用匀变速直线运动速度公式，由vB=vA+a t1，解得物体运动的加速度m/s2=3m/s2。
在物体由B点到C点的运动阶段，再应用匀变速直线运动速度公式，可得物体到达C点时的速度vC =vB+a t2=14m/s+3×4m/s=26m/s。
答案：26m/s
例题2 一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15m/s，则经过第一根电线杆时的速度为（ ）
A. 2m/s B. 10m/s C. 2.5m/s D. 5m/s
思路分析：已知s=50m, t=5s, v2=15m/s, 以v1表示汽车经过第一根电线杆时的速度，由平均速度的定义式和匀变速直线运动平均速度的计算式，可得
解得汽车经过第一根电线杆时的速度m/s－15m/s=5m/s。可见，正确选项为D。
答案：D
【易错指津】
易错点：汽车刹车问题
例题 某汽车正以12m/s的速度在路面上匀速行驶，前方出现紧急情况需刹车，加速度大小是3m/s2，求汽车5s末的速度。
错解：3m/s
错误原因：当汽车减速时，在4s末已经减速到0，第5s汽车已经处于静止状态，所以整个5s内汽车并不是完整的匀变速直线运动，应该分阶段计算。
思路分析：以初速方向为正方向
则v=v0+at=12+（-3） ×5m/s=-3m/s
当车速减为零时，v=v0+at0=12-3t0=0
解得t0=4s
即4s末汽车已刹车完毕，所以5末时汽车处于静止状态，即速度为零。
答案：0
【方法提炼】一题多解
一个物体从静止开始做匀加速直线运动，5s末的速度为1m/s，则10s末的速度为多大？
思路分析 ：解法一：公式法
由匀变速直线运动速度公式，有v1=at1，故物体运动的加速度为
m/s2=0.2m/s2
物体在10s末的速度为v2=a t2=0.2×10m/s=2m/s。
解法二：比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动，有，故
物体在10s末的速度为m/s=2m/s。
解法三：图象法
画出物体运动的速度图象如图所示。由图象可知，物体在10s末的速度为2m/s。
2.2：匀变速直线运动中速度与时间的关系
教学设计:
本节重点是对匀变速直线运动的理解和对公式v＝vo+at的掌握．对于匀变速直线运动的理解强调以下几点：
1．任意相等的时间内速度的增量相同，这里包括大小方向，而不是速度相等．
2．从速度一时间图象上来理解速度与时间的关系式：v＝vo+at，t时刻的末速度v是在初速度v0的基础上，加上速度变化量△v＝at得到．
3．对这个运动中，质点的加速度大小方向不变，但不能说a与△v成正比、与△t成反比，a决定于△v 和△t 的比值．
4．a＝△v/△t 而不是a＝v/t , a＝△v/△t =（vt-v0）/△t即v＝vo+at，要明确各状态的速度，不能混淆．
5．公式中v、vo、a都是矢量，必须注意其方向．
数学公式能简洁地描述自然规律，图象则能直观地描述自然规律．利用数学公式或图象，可以用已知量求出未知量．例如，利用匀变速直线运动的速度公式或v-t图象，可以求出速度，时间或加速度等．
三维目标：
知识与技能
1．知道匀变速直线运动的v—t图象特点，理解图象的物理意义．
2．掌握匀变速直线运动的概念，知道匀变速直线运动v—t图象的特点．
3．理解匀变速直线运动v—t图象的物理意义，会根据图象分析解决问题，
4．掌握匀变速直线运动的速度与时间关系的公式，能进行有关的计算．
过程与方法
1．培养学生识别、分析图象和用物理语言表达相关过程的能力．
2．引导学生研究图象、寻找规律得出匀变速直线运动的概念．
3．引导学生用数学公式表达物理规律并给出各符号的具体含义．
情感态度与价值观
1．培养学生用物理语言表达物理规律的意识，激发探索与创新欲望．
2．培养学生透过现象看本质、甩不同方法表达同一规律的科学意识．
教学重点
1．理解匀变速直线运动v—t图象的物理意义
2．掌握匀变速直线运动中速度与时间的关系公式及应用．
教学难点
1．匀变速直线运动v—t图象的理解及应用．
2．匀变速直线运动的速度一时间公式的理解及计算．
教学方法：
学、交、导、练、悟
【自主探究】
一、匀变速直线运动
[讨论与交流]
1、思考速度一时间图象的物理意义．
如图：匀速直线运动的v—t图象，如图2—2—1所示．
思考讨论如图的两个速度一时间图象．在v—t图象中能看出哪些信息呢?思考讨论图象的特点，尝试描述这种直线运动．
A级：匀速直线运动是 不变的直线运动，它的加速度
上节课我们自己实测得到的小车运动的速度一时间图象，如图2—2—2所示．
请大家尝试描述它的运动情况．
1、匀加速直线运动有什么特点？
2、匀减速直线运动有什么特点？
B级1、关于直线运动的位移、速度图象，下列说法正确的是（ ）
A、匀速直线运动的速度-时间图象是一条与时间轴平行的直线
B、匀速直线运动的位移-时间图象是一条与时间轴平行的直线
C、匀变速直线运动的速度-时间图象是一条与时间轴平行的直线
D、非匀变速直线运动的速度-时间图象是一条倾斜的直线
二、速度与时间的关系式
数学知识在物理中的应用很多，除了我们上面采用图象法来研究外，还有公式法也能表达质点运动的速度与时间的关系．
A级填空：从运动开始(取时刻t＝0)到时刻t，时间的变化量就是t，所以△t＝ ．
请同学们写出速度的变化量．
△v＝
因为a＝ 不变，
所以：v＝
如图2—2—16．我给大家在图上形象地标出了初速度，速度的变化量．请大家从图象上如何对公式加以理解？
A级1．对于公式vt=v0+at,下列说法正确的是
A.适用于任何变速运动 B.只适用于匀加速运动
C.适用于任何运动 D.适用于任何匀变速直线运动
你能独立完成下面两题吗？
(B级)1:汽车以40km／h的速度匀速行驶，现以0.6m／s2的加速度加速，10s后速度能达到多少?加速多长时间后可以达到80km/h?
2:某汽车在某路面紧急刹车时，加速度的大小是6 m／s2，如果必须在2s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少?
交流讨论：如图2—2—13所示是一个物体运动的v-t图象．它的速度怎样变化?请你找出在相等的时间间隔内，速度的变化量，看看它们是不是总是相等?物体所做的运动是匀加速运动吗?
教师题库
1．对于匀变速直线运动的速度与时间关系式v＝v0＋at，下列理解正确的是
( )
①v0是时间间隔t开始时的速度，v是时间间隔t结束时的速度，它们均是瞬时速度
②v一定大于v0
③at是在时间间隔t内速度的增加量，也可以是速度的减少量，在匀加速直线运动中at为正值，在匀减速直线运动中at为负值
④a与匀变速直线运动的v－t图象的倾斜程度无关
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】 在匀加速直线运动中v＞v0，在匀减速直线运动中v＜v0，②错误；在v－t图象中，v－t图象的斜率表示加速度，④错误．
【答案】 C
2．一物体做匀变速直线运动．当t＝0时，物体的速度大小为12 m/s，方向向东；当t＝2 s时，物体的速度大小为8 m/s，方向仍向东. 当t为多少时，物体的速度大小变为2 m/s( )
A．3 s B．5 s C．7 s D．9 s
【解析】 设向东方向为正方向，则t秒后物体的速度为vt＝2 m/s(向东)或vt＝－2 m/s(向西)，而物体的加速度a＝ m/s2＝－2 m/s2.由vt＝v0＋at得t＝，故t1＝ s＝5 s，或t2＝ s＝7 s，故选项B、C正确，A、D错误．【答案】 BC
3．如图所示为甲、乙两物体从同一地点沿直线向一方向运动的v－t图象，则( )
A．甲、乙两物体在5 s末相遇
B．前4 s内甲物体总在乙物体前面
C．甲、乙两物体在4 s末相距最远
D．甲、乙两物体在5 s内相遇两次
【解析】 甲、乙两物体由同一地点向同一方向不同时刻出发做匀变速直线运动．由v－t图象与时间轴所围面积可求位移知A、B正确，C、D错．
【答案】 AB
4．下面四个图分别为四个质点做直线运动的速度—时间图象，则在前2 s内，哪些质点做匀减速运动( )
【解析】 由图象知A、B、C中前2 s加速度均发生变化，只有D项中加速度不变且与初速度方向相反．故D为匀减速运动．
5．有一个物体开始时静止在O点，先使它向东做匀加速直线运动，经过5 s，使它的加速度方向立即改为向西，加速度的大小不改变，再经过5 s，又使它加速度方向改为向东，但加速度大小不改变，如此重复共历时20 s，则这段时间内( )
A．物体运动方向时而向东时而向西
B．物体一直向东运动
C．物体运动时快时慢
D．物体速度一直在增大
【解析】 物体运动的v－t图象如图所示，由图象可知物体的速度方向始终不变，大小做周期性变化，周期为10 s，故B、C正确．
【答案】 BC
6．如图所示是物体在某段运动过程中的v－t图象，在t1和t2时刻的瞬时速度分别为v1和v2，则时间由t1到t2的过程中，下列说法正确的是( )
A．加速度不断减小
B．加速度不断增大
C．平均速度v＝
D．平均速度v＜
【解析】 v－t图象的斜率表示加速度，由图象可知物体运动的加速度不断增大，B项正确．物体在t1到t2的过程中做加速度不断增大的变加速直线运动，用“面积”表示位移，如图所示，物体在该时间段内的位移大于图中虚线所圈的面积，故物体的平均速度v ＞，C、D均错．【答案】 B
学习反思：
板书设计:
§2.2匀速直线运动的速度和时间的关系
1.匀变速直线运动 沿着一条直线运动，且加速度不变的运动
2.速度一时间图象是一条倾斜的直线
3.速度与时间的关系式 v＝vo+at
4.初速度vo再加上速度的变化量at就得到t时刻物体的末速度
教学后记：
《匀速直线运动的速度和时间的关系》
教学目标
一、知识与技能
1.掌握匀变速直线运动的概念、运动规律及特点。
2.知道v-t图象的意义，会根据图象分析解决问题。
二、过程与方法
引导学生通过研究v-t图象，寻找规律。
三、情感、态度与价值观
1.学生通过自己做实验并发现规律，激发学生探索规律的兴趣。
2.体验同一物理规律的不同描述方法，培养科学价值观。
3.将所学知识与实际生活相联系，增加学生学习的动力和欲望。
教学重点、难点
教学重点
理解匀变速直线运动的v-t图象的物理意义。
教学难点
学会用v-t图象分析和解决实际问题。
教学过程：
一、导入新课
教师提问：回顾匀变速直线运动速度随时间有什么样的变化关系？
教师总结：这是一种最简单的变速运动，如果一个物体在整个过程中保持加速度不变，那么物体的速度随时间如何变化呢？如何用数学方法表示出速度随时间变化的关系呢？
学生讲出匀变速直线运动的有关规律。
教师引导：前面我们学习了如何描绘运动物体的v-t图象，本节课我们就从v-t图象入手，探究匀变速直线运动的运动规律。
二、进行新课
（一）匀变速直线运动
教师提问：请同学们观察图2-2-8的v-t图象（课件展示），它们分别表示物体在做什么运动？
学生1：①中物体的速度的大小和方向都不随时间变化，说明物体在做匀速直线运动。
学生2：②中物体的速度随时间不断增大，说明物体在做加速直线运动。
教师提问：仔细观察②中物体速度增加的有规律吗？
学生回答：是均匀增加。如果取相等的时间间隔，
速度的变化量是相同的。
教师引导：很好。请同学们自己画图操作，试一试。
学生自己画图，动手操作
教师用课件投影图2-2-9，进一步加以阐述。
图2-2-9
教师总结：我们发现每过一个相等的时间间隔，速度的增加量是相等的。所以无论选在什么区间，对应的速度v的变化量与时间的变化量之比/都是一样的，即物体的加速度保持不变。
投影出示匀变速直线运动的定义：
沿着一条直线运动，且加速度保持不变的运动，叫做匀变速直线运动。匀变速直线运动的速度时间图象是一条倾斜的直线。
在匀变速直线运动中，如果物体的速度随时间均匀增加，这个运动叫做匀加速直线运动；如果物体的速度随时间均匀减小，这个运动就叫做匀减速直线运动。
学生：我知道了，在刚才图2-2-8中③的速度随时间均匀减小，表示的就是物体在做匀减速直线运动。
教师提问：你说的对！请同学们再思考一下，三条直线的交点表示什么？
学生1：是相遇！
学生2：不是相遇，交点的横、纵坐标都相等，应该表示在同一时刻，三者的速度相等。
教师总结：是的，在v-t图象中，交点仅表示他们的速度相等，并不表示相遇，同学们不要把v-t图象与x-t图象相混淆。
教师接着引导学生思考教材P35说一说。
如图所示，这条图线表示物体的速度怎样变化？在相等的时间间隔内，速度的变化量总是相等的吗？物体在做匀加速直线运动吗？
学生回答：速度增加，但在相等的时间间隔内，速度的变化量越来越大，说明逐渐增大，即加速度增大，加速度不是恒量，那物体的运动就不是匀加速直线运动了。
教师提问：没错。在不同的瞬时，物体的加速度不同，那我们怎么找某一点的瞬时加速度呢？
学生纷纷讨论。
学生：是做切线吗？
教师总结：非常好。我们可以做曲线上某点的切线，这一点的切线的斜率就表示物体在这一时刻的瞬时加速度。
（二）速度与时间的关系
教师讲解：除了图象外，我们还可以用公式表示物体运动的速度与时间的关系。
从运动开始（这时t=0）到时刻t，时间的变化量=t-0，速度的变化量，因为加速度是一个恒量，所以。
解出速度v，得到v=v0+at，这就是匀变速直线运动的速度与时间的关系式。
教师提问：想一想，at在数值上等于什么？
学生回答：a在数值上等于单位时间内速度的变化量，再乘以t就是0-t时间内速度的变化量。at再加上vo就是t时刻的速度了。
教师引导：我们还可以从图象上进一步加深对公式的理解。
教师用课件投影图。
例题1.（投影）汽车以40km/h的速度行驶，现以0.6m/s2的加速度加速，10s后速度能达到多少？
教师引导学生明确已知量、待求量，确定研究对象和研究过程。
学生自主解题。
教师投影出示规范步骤：
解：初速度vo=40km/h=11m/s，加速度a=0.6m/s2，
时间t=10s，10s后的速度为
v=v0+at =11m/s+0.6m/s2×10s=17m/s=62km/h。
例题2.（投影）汽车以36km/h的速度匀速行驶，若汽车以0.6m/s2的加速度刹车，则10s和20s后的速度减为多少？
教师指导学生用速度公式建立方程解题，代入数据，计算结果。
教师巡视查看学生自己做的情况，投影出示典型的样例并加以点评。
有的同学把a=0.6m/s2代入公式v=vo+at，求出v10=16m/s，v20=22 m/s。
教师提问：这种做法对吗？
学生回答：汽车在刹车，做减速运动，所以加速度应代负值，即a=﹣0.6 m/s2。
有的同学把a=﹣0.6m/s2代入公式v=vo+at，求出v10=4m/s v20=-2 m/s
教师提问：这样做对吗？
学生回答：对，我也是这样做的。
教师提问：v20= -2 m/s中负号表示什么？
学生回答：负号表示运动方向与正方向相反。
教师提问：请同学们联系实际想一想，汽车刹车后会再朝反方向运动吗？
学生回答：哦，汽车刹车后经过一段时间就会停下来。
教师提问：那这道题到底该怎么做呢？
学生回答：先计算出汽车经多长时间停下来。
教师出示规范解题的样例。
解：设初速度v0=36km/h=10m/s，加速度a=-0.6m/s2，时间t=10s，由速度公式v=vo+at， 可知刹车至停止所需时间t=v-v0/a=0-10/-0.6=16.7s。
故刹车10s后的速度v10=v0+at=10m/s-0.6×10m/s=4m/s。
刹车20s时汽车早已停止运动，故v20=0。
教师提问：通过这道题，我们大家知道了汽车遇到紧急情况时，虽然踩了刹车，但汽车不会马上停下来，还会向前滑行一段距离。因此，汽车在运行时，要被限定最大速度，超过这一速度，就可能发生交通事故。请同学们结合实际想一想：当发生交通事故时，交警是如何判断司机是否超速行驶的？
学生回答：汽车刹车时会留下痕迹，交警可以通过测量痕迹的长度，计算出司机刹车时的速度。以此来判断司机是否超速行驶。
教师评价：好极了。
三、课堂小结
本节重点从图象和公式两个方面研究了匀变速直线运动，理解时注意以下几点：
1.在匀变速直线运动中，质点的加速度大小和方向不变，但不能说a与成正比、与成反比，决定于和的比值。
2.公式中v、v0、a都是矢量，必须注意其方向。
四、布置作业
教材P36问题与练习。
