数学高中人教A版必修3教案：3.1.3概率的基本性质

第三章　概　率
3.1　随机事件的概率
3.1.3　概率的基本性质
学习目标
1.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念;通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养类比与归纳的数学思想.
2.概率的几个基本性质:(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;(2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);(3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).
3.正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的兴趣.
合作学习
一、设计问题,创设情境
(一)在掷骰子试验中,可以定义许多事件,例如:C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};D1={出现的点数不大于1};D2={出现的点数大于3};D3={出现的点数小于5};E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};H={出现的点数为奇数}……
类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.
1.如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些?反之,成立吗?
2.如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?
3.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
4.事件D3与事件F能同时发生吗?
5.事件G与事件H能同时发生吗?它们两个事件有什么关系?
(二)提出以下问题:
1.概率的取值范围是多少?
2.必然事件的概率是多少?
3.不可能事件的概率是多少?
4.何为互斥事件,其概率应怎样计算?
5.何为对立事件,其概率应怎样计算?
二、信息交流,揭示规律
(一)(学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确.)
讨论结果:
1.如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.
2.如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
3.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.
4.事件D3与事件F不能同时发生.
5.事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.
总结:由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:
(1)如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说　　　　(或称事件A包含于事件B),记为B?A(或A?B).不可能事件记为?,任何事件都包含不可能事件.?
(2)如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若B?A同时A?B),我们说这　　　　,即A=B.?
(3)如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的　　　　(或和事件),记为A∪B(或A+B).?
(4)如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的　　　　(或积事件),记为A∩B(或AB).?
(5)如果A∩B为不可能事件(A∩B=?),那么称　　　　,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.?
(6)如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称　　　　,即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.?
(二)(教师引导学生,学生根据试验的结果,总结对各种事件的理解.)
根据概率的意义得:
1.由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率的取值范围是[0,1],因而概率的取值范围为[0,1].
2.必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.
3.不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.
4.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之和.
5.事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,所以事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.
讨论结果:
三、运用规律,解决问题
【例1】 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环;
事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环;
事件D:命中环数为6,7,8,9,10环.
【例2】 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张,那么取到红心(事件A)的概率是14,取到方块(事件B)的概率是14,问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
四、变式训练,深化提高
1.抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P(A)=12,P(B)=12,求出“出现奇数点或偶数点”的概率.
2.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取1球,得到红球的概率为13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?
五、反思小结,观点提炼
布置作业
课本P123习题3.1 A组第5题;B组第1,2题.
参考答案
二、信息交流,揭示规律
(一)总结:
(1)事件B包含事件A
(2)两个事件相等
(3)并事件
(4)交事件
(5)事件A与事件B互斥
(6)事件A与事件B互为对立事件
(二)讨论结果:
1.概率的取值范围为[0,1],即0≤P(A)≤1.
2.必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.
3.不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.
4.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.
5.事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).
三、运用规律,解决问题
【例1】 解:A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件.
【例2】 解:(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件.根据概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=12.
(2)C与D也是互斥事件,又由于C∪D为必然事件,所以C与D互为对立事件.所以P(D)=1-P(C)=12.
四、变式训练,深化提高
1.解:记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A,B是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=12+12=1.
答:出现奇数点或偶数点的概率为1.
2.解:从袋中任取1球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”为A,B,C,D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=512;P(C∪D)=P(C)+P(D)=512;P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-13=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.
答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14.
五、反思小结,观点提炼
1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不会发生,因此其概率为0;必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P(A∪B)=P(A)+P(B);对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.
2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生;而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:①事件A发生事件B不发生;②事件B发生事件A不发生,故对立事件是互斥事件的特殊情形.