数学高中人教A版必修3教案：3.1.2概率的意义

第三章　概　率
3.1　随机事件的概率
3.1.2　概率的意义
学习目标
1.正确理解概率的意义;利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
2.通过对现实生活中的“掷硬币”“游戏的公平性”“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.
3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系.
合作学习
一、设计问题,创设情境
生活中,我们经常听到这样的议论:“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗?
二、信息交流,揭示规律
1.概率的正确理解
思考1:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上.你认为这种想法正确吗?
探究:全班同学各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后的朝向,并记录结果,填入下表.重复上面的过程10次,把全班同学的试验结果汇总,计算三种结果发生的频率.
姓名
试验次数
两次正面朝上的次数
两次反面朝上的次数
一次正面朝上,一次反面朝上的次数
10


思考2:如果某种彩票的中奖概率为
1
1 000
,那么买1 000张这种彩票一定能中奖吗?(假设该彩票有足够多的张数.)
2.游戏的公平性
体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的.当抽签器上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是双方取得发球权的概率均为0.5,所以这个规则是公平的.
探究:某中学高一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?
3.决策中的概率思想
思考1:如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么?
思考2:如果一个袋中装有99个红色乒乓球,1个白色乒乓球,或1个红色乒乓球,99个白色乒乓球,在事先不知道是哪种情况下,一个人从袋中随机摸出1个乒乓球,结果发现是红色乒乓球.你认为这个袋中有99个红色乒乓球,1个白色乒乓球,还是1个红色乒乓球,99个白色乒乓球?
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
4.天气预报的概率解释
思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率是70%,你认为下面两个解释中哪个能代表气象局的观点?
(1)明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨;(2)明天本地下雨的机会是70%.
生活中,我们经常听到这样的议论:“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了”,学了概率后,你能给出解释吗?
5.试验与发现
奥地利遗传学家孟德尔(Gregor Mendel,1822—1884)用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果:
性状
显性
隐性
显性∶隐性
子叶的颜色
黄色
6 022
绿色
2 001
3.01∶1
种子的性状
圆形
5 474
皱皮
1 850
2.96∶1
茎的高度
长茎
787
短茎
277
2.84∶1
孟德尔发现子一代对于一种性状为必然事件,其可能性为100%,另一种性状的可能性为0,而子二代对于前一种性状的可能性约为75%,后一种性状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传的基本规律.
6.遗传机理中的统计规律
孟德尔通过豌豆进行杂交试验的进一步研究发现了生物遗传的基本规律.下面给出简单的解释.
/
每个豌豆均由一对基因组成,下一代是从父母辈中各随机地选取一个基因组成自己的一对基因.每个结果都是随机事件.显性基因和隐性基因是有区别的.
用符号YY代表纯黄色豌豆的两个基因,用符号yy代表纯绿色豌豆的两个基因.
由于下一代是从父母辈中各随机地选取一个基因组成自己的一对基因,因此在子二代中YY、yy出现的概率都是
1
4
,Yy出现的概率是
1
2
.所以黄色豌豆(YY、Yy)∶绿色豌豆(yy)约等于3∶1.实际上,遗传机理中的统计规律问题可以化归为同时抛掷两枚硬币的试验问题,把正面看成显性基因,反面看成隐性基因.
三、运用规律,解决问题
【例题】 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.
试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.
四、反思小结,观点提炼
布置作业
课本P123习题3.1 A组第2,3题.
参考答案
二、信息交流,揭示规律
1.概率的正确理解
思考1:这种想法是错误的.因为连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重复抛掷硬币的试验,试验的结果仍然是随机的,当然可以两次均出现正面朝上或两次均出现反面朝上.随机事件在一次试验中发生与否是随机的.
探究:随着试验次数的增加,可以发现,“正面朝上、反面朝上各一次”的频率与“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”的频率是不一样的,而且“两次均正面朝上”的频率与“两次均反面朝上”的频率大致相等;“正面朝上、反面朝上各一次”的频率大于“两次均正面朝上”(“两次均反面朝上”)的频率.事实上,“两次均正面朝上”的概率为0.25,“两次均反面朝上”的概率也为0.25,“正面朝上、反面朝上各一次”的概率为0.5.
思考2:不一定.实际上,买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做1 000次的结果也是随机的.虽然中奖张数是随机的,但这种随机性中具有规律性.随着试验次数的增加,即随着买的彩票张数的增加,其中中奖彩票所占的比例可能越接近于
1
1 000
.
2.游戏的公平性
探究:这种方法不公平.因为有些班级出现的几率比较高.每个班被选中的可能性不一样.
3.决策中的概率思想
思考1:不均匀.
思考2:99个红色乒乓球,1个白色乒乓球.
4.天气预报的概率解释
思考:第(2)个能代表气象局的观点.
解释:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率,我们知道:在一次试验中,概率为90%的事件也可能不出现,因此,“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.降水概率的大小只能说明降水可能性的大小,概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.
三、运用规律,解决问题
【例题】 解:设水库中鱼的尾数为n,A表示“带有记号的鱼”,则有P(A)=
2 000
??
.①
因为P(A)≈
40
500
,②
由①②得
2 000
??
=
40
500
,解得n≈25 000.
所以估计水库中约有鱼25 000尾.
四、反思小结,观点提炼
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有形成概率的意识,并用这种意识来理解现实世界.通过以上例题与练习可以感到,数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论,而成为我们认识世界的工具.从彩票中奖,到证券分析,从基因工程,到法律诉讼,从市场调查,到经济宏观调控,概率无处不在.