北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第11讲《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固(提高)含答案

《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
【知识网络】
/
【要点梳理】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如/，/等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
/
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或/)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或/)．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.?
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.?
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于/、/的一元一次方程/＝0（/≠0）的解
/为何值时，函数/的值为0？
确定直线/与/轴（即直线/＝0）交点的横坐标.
求关于/、/的二元一次方程组/的解．
/为何值时，函数/与函数/的值相等？
确定直线/与直线/的交点的坐标.
求关于/的一元一次不等式/＞0（/≠0）的解集
/为何值时，函数/的值大于0？
确定直线/在/轴（即直线/＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
【典型例题】
类型一、不等式
/1.用适当的语言翻译下列小题：
（1）x与9的差是正数或0；
（2）b与-5的和既不是正数也不是负数；
（3）y的5倍既大于x又小于3x+2；
（4）a的2倍与-4的差小于5或大于7；
（5）/；
（6）/；
（7）/
（8）/
【答案与解析】
解：（1）x -9≥0；
（2）b+(-5)=0；
（3）x<5y<3x+2；
（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7；
（5）y的一半与x的差非负；
（6）x的一半与3的差既大于-2又小于0；
（7）x>-3或写作：大于-3的数；
（8）2【总结升华】对“既……又……”，“既是……也是……”，“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累．
/2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少?
【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法．
【答案与解析】
解：可利用作差比较法比较大小．
-(8-l0x)-[ -(8-l0y)]
=-8+10x+8-10y
=10x -10y．
∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0
∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．
按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．
∴/．
∴x的最小正整数值是1．
【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：
①/；
②/；
③/．
举一反三：
【变式】己知：x<0.5，比较2-4x和18x-9的大小.
【答案】
解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x
而又∵x<0.5，
∴-22x>-11，即11-22x>0．
∴2-4x>18x-9．
类型二、一元一次不等式 ?
/3. 已知关于x的不等式/的解集是/，求a的取值范围.
【答案与解析】
解：解法一：/，
/，
∵它的解集为/，
/， /.
解法二：/是关于x方程/ 的解，
/，解得/．
/.
【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解.
举一反三：
【变式1】如果关于ｘ的不等式/正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?
【答案】解不等式得：/．
　　　　∵ｋ为正整数且/中的正整数解为1，2，3，
　　　　∴/．
　　　　∴/．
【变式2】（2019?南通）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
【答案】D．
解：由x﹣b＞0解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2.
类型三、一元一次不等式组
/4. 求不等式组/的整数解.
【思路点拨】分别解出各不等式，取所有解集的公共部分.
【答案与解析】
解：/
解不等式①得：x＜2 ．
解不等式②得：x≥－1 ．
解不等式③得：x＞-2 ．
∴不等式组的解集为－1≤x＜2 ．
故不等式组的整数解为－1，0,1 ．
【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解．
举一反三：
【变式】若关于不等式组/只有四个整数解，求a的取值范围.
【答案】
解：由/，得/，
由/，得/，
∴不等式组的解集为/，
∵只有四个整数解，∴/，即/，
∴a的取值范围：/.
/5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：
价格
种类
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
2000
2100
冰 箱
2400
2500
洗衣机
1600
1700

(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?
【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．
【答案与解析】
解：(1)设购进电视机、冰箱各x台．
依题意，得/
解这个不等式组得，6≤x≤7
∵ x为正整数．∴ x＝6或7．
方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
(2)方案1需补贴：
(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．
方案二需补贴：
(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)．
∴ 国家财政最多需补贴农民4407元．
【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．
类型四、一次函数与一元一次方程、不等式（组）
/6.如图，直线/经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组/ 的解集为 ．
/
【答案】/；
【解析】从图象上看，/的图象在/轴下方，且在/上方的图象为画红线的部分，而这部分的图象自变量/的范围在/.
/
【总结升华】也可以先求出/的解析式，然后解不等式得出结果.
举一反三：
【变式】如图所示，直线/经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线/过点A，则不等式2/＜/＜0的解集为( ) .
/
A．/＜－2 B．－2＜/＜－1 C．－2＜/＜0 D．－1＜/＜0
【答案】B；
提示：由图象可知A(－1，－2)是直线/与直线/的交点，当/＜－1时2/＜/，当/＞－2时，/＜0，所以－2＜/＜－1是不等式2/＜/＜0的解集．
类型五、综合应用
/7.已知不等式组/的解集为/，试求m，n的值．
【答案与解析】
解：解不等式/，得/．
解不等式 n-4(x-1)＜1，得/．
因为不等式组的解集为/，
所以有/， ∴ /．
答：m、n的值分别1和3．
【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解．
/8.（2019?泸州）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？
【思路点拨】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．
【答案与解析】
解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：
/，
解得/．
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：
/，
解得：12≤m≤13，
∵m是整数，
∴m=12或13，
故有如下两种方案：
方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
【总结升华】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．
举一反三：
【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？
【答案】
解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．
由题意得：/， 解得：/ ．
（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株．
则有：/
解得：/．
由于a为整数，∴a可取18或19或20，所以有三种具体方案：
①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；
②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株；
③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株.
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019?潍坊）不等式组/的所有整数解的和是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（　　）．
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
3．已知一次函数/的图象过第一、二、四象限，且与/轴交于点（2，0），则关于/的不等式/的解集为（ ）．
A．/＜－1 B．/＞ －1 C． /＞1 D．/＜1
4．若不等式组/ 有解，则/的取值范围是（ ）．
A./ B. / C./ D. /
5．如果不等式ax+4＜0的解集在数轴上表示如图,那么a的值是(　　) ．
A．a ＞0 　　　B．a＜0 　　　C．a=－2 　　　D．a=2
/
6. 中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ．
A．5 B．4 C．3 D．2
/
7．如果一次函数当自变量/的取值范围是/时，函数值/的取值范围是/，那么此函数的解析式是(　 ) ．
A．/　　　　　　　　　　 B．/
　 C．/或/ 　　 　D．/或/
8.（2019?老河口市模拟）已知关于x的不等式组/有且只有1个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．a≤2
二、填空题
9．（2019?江都市模拟）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　 　．
10．已知方程组/的解满足/，则a的取值范围 ．
11. 若不等式组/无解，则/的取值范围是　　　　　.
12. 如图，直线/经过A（2，1），B（－1，－2）两点，则不等式/的解集为__________.
/
13.已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围 .
14.如果关于/的不等式组/的整数解仅为1,2,3，则/的取值范围是 ，/的取值范围是 .
15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 .
16.若不等式组:
/只有一个整数解，则a的取值范围 ．
三、解答题
17.（2019?甘南州）解不等式组：/，并把解集在数轴上表示出来．
18.（2019?呼和浩特）已知关于x的不等式组/有四个整数解，求实数a的取值范围．
19.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？
20. 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2/后血液中的含药量最高，达每升6/，接着逐步衰减，10/后血液中的含药量为每升3/，每升血液中的含药量//随时间//的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：
/
(1)分别求出/≤2和/≥2时，/与/之间的函数关系式；
(2)如果每升血液中的含药量为4/或4/以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D．
【解析】/∵解不等式①得；x＞﹣/，解不等式②得；x≤3，
∴不等式组的解集为﹣/＜x≤3，∴不等式组的整数解为0，1，2，3，0+1+2+3=6.
2. 【答案】C；
【解析】解：设降价x元时商店老板才能出售．则可得： 360－x≥/×（1+20%），
解得：x≤120．
3. 【答案】A；
【解析】一次函数/的图象过第一、二、四象限，所以/＜0，将（2， 0）代入/，得/，所以/，所以/.
4. 【答案】A；
【解析】画数轴进行分析．
5. 【答案】C；
【解析】由已知a＜0且x＞－/，则－/，即/.
6. 【答案】A ；
【解析】设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z， 根据已知条件，
有/
①×2－②×5，得2x＝5y，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5．
7. 【答案】C；
【解析】分/＞0和/＜0两种情况讨论.
8. 【答案】B；
【解析】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞1，得：x＜3，
∵不等式组有且只有1个整数解，
∴不等式组的整数解为2，
∴1≤a＜2，
故选：B．
二．填空题
9.【答案】a＜﹣1．
10.【答案】/；
【解析】方程组/得：/, 所以/，
∴/解得：－/．
11. 【答案】/；
【解析】要使原不等式无解，则需满足/，得/≥2．
12. 【答案】－1＜/＜2；
【解析】由于直线/经过A（2，1），B（－1，－2）两点，那么把A、B两点的坐标代入/，用待定系数法求出/、/的值，然后解不等式组/，即可求出解集．
13.【答案】 k≥-3；
【解析】3k-5x=-9，x=/，/ 解得k≥-3．
14. 【答案】/，/；
15．【答案】3，1；
【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b．
故当密文是1，7时，
得/， 解得/．
也就是说，密文1，7分别对应明文3，1．
16．【答案】1＜a≤2．
【解析】先把a看成一个固定数，解关于x的不等式组，再由不等式组的解集研究a的取值范围．
三.解答题
17.【解析】
解：/，
由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6，
整理得：5x＞﹣5，
解得：x＞﹣1，…（1分）
由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5，
移项得：3x﹣x≤5+3，
合并得：2x≤8，
解得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，
/
18.【解析】
解：解不等式组/，
解不等式①得：x＞﹣/，
解不等式②得：x≤a+4，
∵不等式组有四个整数解，
∴1≤a+4＜2，
解得：﹣3≤a＜﹣2．
19.【解析】
解：（1）设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，
根据题意，得/，解得：/
答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元．（2）设建m个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，根据题意，得
12＜0.1m+0.5（50-m）≤13，解得：30≤m＜/∵m为整数，∴m=30，31，32
∴50-m=20,19,18.
答：有三种建造方案：方案一：新建30个地上停车位和20个地下停车位；方案二：新建31个地上停车位和19个地下停车位；方案三：新建32个地上停车位和18个地下停车位.
20. 【解析】
解：(1)由图知，/≤2时是正比例函数，/≥2时是一次函数．
设/≤2时，/，把(2，6)代入/，解得/＝3，
∴ 当0≤/≤2时，/．
设/≥2时，/，把(2，6)，(10，3)代入/中，
得/，解得/，即/．
当/＝0时，有/，/．
∴ 当2≤/≤18时，/．
(2)由于/≥4时在治疗疾病是有效的，
∴ /，解得/．
即服药后/得到/为治病的有效时间，
这段时间为/．