北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第16讲 平方差公式(提高)含答案

平方差公式（提高） 知识讲解
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
/
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母/和/的广泛意义，/、/可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——平方差公式
/1、分解因式：
（1）/； （2）/； （3）/．
【思路点拨】（1）把/看做整体，变形为/后分解．（2）/可写成/，/可写成/，/和/分别相当于公式里的/和/．（3）把/、/看作一个整体进行分解．
【答案与解析】
解：（1）/．
（2）/
/
/
/．
（3）/
/．
【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.
举一反三：
【变式】将下列各式分解因式：
（1）/； （2）/
（3）/； （4）/；
【答案】
解：（1）原式/
/
（2）原式＝/
＝/
（3）原式/
（4）原式/
/2、分解因式：
（1）/； （2）/； （3）/； （4）/
【答案与解析】
解：（1）/．
（2）/．
（3）/．
（4）/．
【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．
举一反三：
【变式】（2019?杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=/．
【答案】
解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）
=4a×6b=24ab，
当a=/，即ab=/时，
原式=24ab=4．
类型二、平方差公式的应用
/3、（2019春?新化县期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，则密码018162．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？
【思路点拨】首先将多项式4x3﹣xy2进行因式分解，得到4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2x﹣y的值，从而得出密码．
【答案与解析】
解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），
当x=10，y=10时，
x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，
故密码为103010或101030或301010．
【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．
/4、（2019春?成武县期末）阅读下面的计算过程：
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）
=（24﹣1）（24+1）
=（28﹣1）．
根据上式的计算方法，请计算：
（1）/
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣/．
【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）原式=2（1﹣/）（1+/）（1+/）（1+/）…（1+/）
=2（1﹣/）（1+/）（1+/）…（1+/）
=2（1﹣/）（1+/）…（1+/）
=2（1﹣/）
=/；
（2）原式=/（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣/
=/（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣/
=/（364﹣1）﹣/
=﹣/．
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【巩固练习】
一.选择题
1．（2019?百色）分解因式：16﹣x2=（　　）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
2. （2019春?东平县校级期末）下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（　　）
　 A.（﹣2y﹣x）（x+2y） B.（x﹣2y）（﹣x﹣2y）
C.（x﹣2y）（2y+x） D.（2y﹣x）（﹣x﹣2y）
3. 下列因式分解正确的是(　　).
A./ B./
C./ D./
4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ）
①/；②/
③/
④/
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 若/能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
6. 乘积/应等于（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
二.填空题
7. /；/　　　　　　.?
8. 若/，将/分解因式为__________.
9. 分解因式：/_________.
10. 若/，则/是_________.
11. （2019春?深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A的末位数字是　 　．
12.（2019?烟台）已知|x﹣y+2|+/=0，则x2﹣y2的值为　 　．
三.解答题
13. 用简便方法计算下列各式：
（1） /－1998×2000 （2）/
（3） /
14.（2019秋?蓟县期末）已知（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=72，求a+b的值．
15.设/，/，……，/（/为大于0的自然数）
（1）探究/是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出/，/，……，/这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当/满足什么条件时，/为完全平方数.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．
2. 【答案】A；
【解析】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．
B、C、D中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．
故选：A．
3. 【答案】C；
【解析】/；
/；
/.
4. 【答案】C；
【解析】①②③正确. /
/.
5. 【答案】C；
【解析】/
/
6. 【答案】C；
【解析】/
/
二.填空题
7. 【答案】/；/
【解析】/.
8. 【答案】/；
【解析】//.
9. 【答案】/；
【解析】原式＝/.
10.【答案】4；
【解析】/.
11.【答案】6；
【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，
=（28﹣1）（28+1）+1，
=216﹣1+1，
=216
因为216的末位数字是6，
所以原式末位数字是6．
12. 【答案】-4；
【解析】∵|x﹣y+2|+/=0，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2，
∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=﹣4．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）/－1998×2000 ＝/
（2）/
/
（3）/
/
14.【解析】
解：已知等式变形得：[2（a+b）+3][2（a+b）﹣3]=72，
即4（a+b）2﹣9=72，
整理得：（a+b）2=/，
开方得：a+b=±/．
15.【解析】
解：（1）/
又/为非零的自然数，
∴/是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．
/为一个完全平方数的2倍时，/为完全平方数.