北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第17讲 完全平方公式(提高)含答案

完全平方公式（提高）
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
1、分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）
．
（4）．
【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）．
（2）．
【答案】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
2、（2019?大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3．
【思路点拨】先提公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解．
【答案与解析】
解：a3b+2a2b2+ab3
= ab（a2+2ab+b2）
= ab（a+b）2
将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．
举一反三：
【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.
【答案】
解：
令
∴上式
即
类型二、配方法分解因式
3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：
那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？
因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.
【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.
【答案与解析】
解：如

【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.
类型三、完全平方公式的应用
4、（2019春?娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x2+6x﹣2）
=2（x2+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2﹣11]
=2（x+3）2﹣22
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数
所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3
进而2（x+3）2﹣22
的最小值是2×0﹣22=﹣22
所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22.
解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值．
【答案与解析】
解：原式=3（x2﹣2x+4）
=3（x2﹣2x+1﹣1+4）
=3（x﹣1）2+9，
∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，
∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x=1，
∴3（x﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，
则当x=1时，原多项式的最小值是9．
【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】若△ABC的三边长分别为、、,且满足，
求证：.
【答案】
解：

所以
所以
所以
因为△ABC的三边长分别为、、，，
所以，矛盾，舍去.
所以.
【变式2】（2019春?萧山区期中）若（2019﹣x）（2019﹣x）=2019，则（2019﹣x）2+（2019﹣x）2=　 　．
【答案】4032．
解：∵（2019﹣x）（2019﹣x）=2019，
∴[（2019﹣x）﹣（2019﹣x）]2=（2019﹣x）2+（2019﹣x）2﹣2（2019﹣x）（2019﹣x）=4，
则（2019﹣x）2+（2019﹣x）2=4+2×2019=4032．
【巩固练习】
一.选择题
1. 若是完全平方式，则的值为（ ）
A．－5 B．7 C．－1 D．7或－1
2．（2019?富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如果是一个完全平方公式，那么是（ ）
A. B. C. D.
4. （2019?永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
5. 若，则的值为（ ）
A.12 B.6 C.3 D.0
6. 若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题
7．（2019?赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2=　 　．
8. 因式分解:＝_____________.
9. 因式分解: ＝_____________.
10. 若，＝_____________.
11. 当取__________时，多项式有最小值_____________.
12.（2019?宁波模拟）如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么=　 　．
三.解答题
13.若，，求的值.
14.（2019春?怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：
（1）（a+）2；（2）（a﹣）2；（3）a﹣．
15. 若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.
小明是这样做的：
解：∵，∴.
即
∵，∴.
∴该三角形是等边三角形.
仿照小明的解法解答问题：
已知： 为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】由题意，＝±4，.
2. 【答案】C；
【解析】② ③ ⑤ 不能用完全平方公式分解.
3. 【答案】B；
【解析】，所以，选B.
4. 【答案】D；
【解析】解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，
所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，
=3．
故选D．
5. 【答案】A；
【解析】原式＝.
6. 【答案】B；
【解析】，由题意得，，所以.
二.填空题
7. 【答案】（2x﹣y）2
【解析】4x2﹣4xy+y2=（2x）2﹣2×2x?y+y2=（2x﹣y）2．
8. 【答案】；
【解析】.
9. 【答案】
【解析】.
10.【答案】1；
【解析】，所以，.
11.【答案】－3，1；
【解析】，当时有最小值1.
12.【答案】．
【解析】解：可把条件变成（x2﹣6xy+9y2）+（x2﹣4x+4）=0，
即（x﹣3y）2+（x﹣2）2=0，
因为x，y均是实数，
∴x﹣3y=0，x﹣2=0，
∴x=2，y=，
∴==．
故答案为．
三.解答题
13.【解析】
解：

将代入

∵≥0，
∴＝3.
14.【解析】
解：（1）把a+=代入得：（a+）2=（）2=10；
（2）∵（a+）2=a2++2=10，
∴a2+=8，
∴（a﹣）2=a2+﹣2?a?=8﹣2=6；
（3）a﹣=±=±．
15.【解析】
解：∵
∴

∴
∴，该三角形是等边三角形.