北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第19讲《因式分解》全章复习与巩固(提高)含答案

《因式分解》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】
理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
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【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式/分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式/，另一个因式是/，即/，而/正好是/除以/所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
/
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即/，/.
形如/，/的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母/和/的广泛意义，/、/可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式/，若存在/ ，则/
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
/1、 分解因式：
(1)/；
(2)/．
【答案与解析】
解：(1)/．
(2)/
/
/．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．
/2、利用分解因式证明：/能被120整除．
【思路点拨】25＝/，进而把/整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．
【答案与解析】
证明：/＝/
＝/
＝/
＝/
＝/
＝/
∴/能被120整除．
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．
类型二、公式法分解因式
/3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：/，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．
【思路点拨】把/分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．
【答案与解析】
解：把/看作完全平方式里的/；
原式＝/
＝/
＝/．
【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把/看作完全平方式里的/是解题的关键．
举一反三：
【变式】下面是某同学对多项式/进行因式分解的过程．
解：设/
原式＝/（第一步）＝/（第二步）＝/（第三步）＝/（第四步）回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A、提取公因式 B．平方差公式C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式/进行因式分解．
【答案】
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）/还可以分解，分解不彻底；结果为/.
（3）设/．
/＝/，
＝/，
＝/2，
＝/，
＝/．
/4、（2019秋?海安县期末）因式分解：
（1）；
（2）.
【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.
【答案与解析】
解：（1）
；
（2）
.
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
举一反三：
【变式】设/，/，…，/（/为大于0的自然数）．（1）探究/是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出/，/，…，/，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当/满足什么条件时，/为完全平方数（不必说明理由）．
【答案】
解：（1）∵/，
又/为非零的自然数，
∴/是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．
/为一个完全平方数的2倍时，/为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
/5、分解因式：（1）/
（2）/
（3）/
【答案与解析】
解：（1）原式/
（2）原式＝/
/
（3）原式＝/
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
举一反三：
【变式】（浦东新区校级期末）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．
【答案】解：将（x-y）看成一个整体，原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．
/6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为/厘米、/厘米，
且/＝0，求长方形的面积．
【思路点拨】把/＝0化简成/，可得/，由题意可得/，解方程组/即可.
【答案与解析】
解：∵/＝0∴/＝0∵/＝0∴/，/，/（不合题意，舍去）又由题意可得/
解方程组/
解之得，/＝100，/＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．
举一反三：
【变式】因式分解：/，正确的分组是（　　）
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】D；
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中/正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列式子变形是因式分解的是（　　）
A．/ B．/
C．/ D．/
2. 已知：△ABC的三边长分别为/，那么代数式/的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3．已知/有一个因式是/，把它分解因式后应当是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
4．若/，且/，/，那么/必须满足条件( )．
A./都是正数 B. /异号，且正数的绝对值较大
C./都是负数 D. /异号，且负数的绝对值较大
5.（2019?张家港市期末）把分解因式，正确的是（　　）
　 A． B．
　 C． D．
6．将下述多项式分解后，有相同因式/的多项式有 (　 )
①/； ②/； ③/； ④/；
⑤/；　　⑥/
A．2个 　　　B．3个　　　 C．4个 　　　D．5个
7. 已知/可因式分解成/，其中/均为整数，则/（　　）
A．－12 B．－32 C．38 D．72
8. 将/分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）
A. /　　　 B. /
C. / 　　　D. /
二.填空题
9.（2019?诸城市一模）因式分解： 　．
10. 分解因式：/＝_____________.
11.已知/，则/＝ ．
12.分解因式：/＝__________.
13．若/有一个因式为/，则/的值应当是_________.
14.把多项式/分解因式的结果是__________.
15.已知/，则/＝ ．
16.分解因式：（1）/＝________；（2）/＝________.
三.解答题
17.求证：/能被45整除．
18.（2019春?焦作校级期中）已知x2+x=1，求x4+x3﹣2x2﹣x+2019的值．
19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
/①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：________.
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出/因式分解的结果，画出你的拼图．
20.下面是某同学对多项式/＋4进行因式分解的过程：
解：设/
原式＝/ （第一步）
＝/ （第二步）
＝/ （第三步）
＝/ （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式/ 进行因式分解.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】
A./右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B./是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
C./是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D./，故本选项错误．
2. 【答案】C；
【解析】/，因为/为三角形三边长，所以/，所以原式小于零.
3. 【答案】A
【解析】代入答案检验.
4. 【答案】B；
【解析】由题意/，所以选B.
5. 【答案】C；
【解析】
6. 【答案】C；
【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式/.
7.【答案】Ａ；
　【解析】原式＝/，∵可以分解成/，∴/∴/－12．
8. 【答案】D；
【解析】A、B各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式/，所以分组合理，D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.
二.填空题
9. 【答案】；
【解析】
10.【答案】/；
【解析】/
＝/＝/．
11.【答案】－3；
【解析】/.
12.【答案】/；
【解析】/＝/＝/．
13.【答案】－6；
【解析】由题意，当/时，/，解得/＝－6.
14.【答案】/；
【解析】/＝/＝/．
15.【答案】39；
【解析】原式＝/.
16.【答案】/；/；
【解析】/；
/
/.
三.解答题
17.【解析】
证明：原式＝/
＝/＝/．
所以能被45整除．
18.【解析】
解：∵x2+x=1，
∴x2=1﹣x，x2﹣1=﹣x，
∴x4+x3﹣2x2﹣x+2019
=x2（x2﹣1）+x3﹣x2﹣x+2019
=x2（﹣x）+x3﹣x2﹣x+2019
=﹣（x2+x）+2019
=﹣1+2019
=2019．
即x4+x3﹣2x2﹣x+2019=2019．
19.【解析】
解：（1）①长方形的面积＝/；长方形的面积＝/；
②/；
（2）①如图，可推导出/；
②/．
/
20.【解析】
解：（1）C；
（2）不彻底；/；
（3）设/，原式＝/
/.