江西省南康中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含答案

南康中学2019-2020学年度第一学期高二第一次大考
数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．若表示点,表示直线,表示平面,则下列叙述中正确的是（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,,则
3．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
4.已知直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）
A．16＋4π
B．16＋2π
C．48＋4π
D．48＋2π
7．点B是点在坐标平面内的射影，则｜OB｜等于（ ）
A． B． C． D．
8．圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，
且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．㎝ B．5cm C．㎝ D．7cm
9．已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC，且PA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，其中恒成立的为（ ）
A． ①③ B． ③④
C． ①④ D． ②③
11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
12. 在等腰直角中，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（ ）
A. 线段为定长
B.
C.
D. 点的轨迹是圆弧
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若实数x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为
14.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，， D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使，则线段B1F的长为

16．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，D为A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为
三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本题满分10分）
已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值.
18、（本题满分12分）
如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面．
19.（本题满分12分）
已知圆
（1）已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程.
20. （本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．
（1）求点B到面PAD的距离；
（2）取AB中点O，过O作OEBD于E,
①求证：PEO为二面角的平面角；
②求PEO的正切值.
21．（本题满分12分）
如图，四棱锥中，为正三角形. 且.
（1）证明：平面平面；
（2）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积.
22．（本题满分12分）
如图1，在长方形中，为的中点，为线段上一动点．现将沿折起，形成四棱锥.

图1 图2 图3
（1）若与重合，且 (如图2).证明：平面；
（2）若不与重合，且平面平面 (如图3)，设，求的取值范围.
南康中学2019-2020学年度第一学期高二第一次大考
数学（理）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
D
D
B
B
B
D
A
B
C
二、填空题（每小题5分,共20分）
13、4 14、24＋π 15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17、解析：（1）由 消去得，----------2分
由已知得，得，
得实数的取值范围是；---5分
（2）因为圆心到直线的距离为， ----7分
所以
由已知得，解得.---10分
18、解：（）证明：取中点为，
∵在中，是中点，是中点，
∴，且，------------------2分
又∵底面是菱形，
∴，
∵是中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴，--------------------------------4分
又平面，平面，
∴平面．--------------------------------6分
（）证明：设，则是中点，
∵底面是菱形，
∴，-------------------------8分
又∵，是中点，
∴，-----------------------------10分
又，
∴平面．----------------------------12分
19.（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为.............1分
∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径，..............3分
即= ...................4分
∴或..................5分
所求切线方程为：或 ………………6分
（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合
故直线.................8分
当直线斜率存在时，设直线方程为，即
由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分
则，.................11分
直线方程为
综上，直线方程为，. ................12分
20、（方法1）（1）∵PA=PB=AB=2，PA=AD=2，PD=
∴=，=
设点B到平面PAD的高为h,由VB-PAD=VD-PAB得
即∴ ……………………5分
方法二：过B作PA的垂线BE
面PAD
即BE为点B到面PAD距离
为边长为2的正三角形
(2)①在△PAB中，PA=PB=AB=2 ∴PO ⊥AB
由（1）知AD⊥平面PAB，平面PAB ∴PO ⊥AD
而，平面ABCD∴PO ⊥平面ABCD
∵平面ABCD ∴PO ⊥BD
又OE⊥BD ∴BD ⊥PE ∴BD⊥平面POE
∴∠PEO为二面角P-BD-A的平面角 ……………………9分
②，
在△POE中，∠POE=900 ∴． ……………………12分
21．解析：（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，
所以，又，，所以，--------------2分
又，//，， --------------------------------4分
，
所以平面，--------------------------------5分
又因为平面，所以平面平面.---------------------------6分
（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，
且，所以，--------------------7分
连接，因为//平面，所以//，则，---9分
由（Ⅰ）点到平面的距离为2，
所以点到平面的距离为，----------10分
所以，
即四面体的体积为.-----------------12分
22．解析：（Ⅰ）由与重合，则有,--------------------------2分
因为，,所以
,----------------------4分
,所以平面. --------------------6分
（Ⅱ） 如图，作于,作于，连接.
由平面平面且可得平面,故,由可得平面
,故在平面图形中，三点共线且.--------------------8分
设，由，故,-------------------10分
，所以，
.---------------------12分