人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程学案设计（3课时，含解析）

第二十一章　一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程(第1课时)

学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求解,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.
2.理解“连续传播”型问题的实质,会检验所得结果是否合理.
3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.
学习过程
一、设计问题,创设情境
(一)前期回顾
1.解决问题:甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是几岁?




2.用一元一次方程解决实际问题需要哪些步骤?



3.简单回顾一元二次方程的解法有哪些?



(二)探究活动
1.探究一:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?

2.问题引导:(1)问题中有哪些数量关系?



(2)如何理解“经过两轮传染后共有……”?



(3)问题中有怎样的相等关系?



(4)如何选取未知数并根据相等关系列出方程?



3.如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?



二、信息交流,揭示规律
(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人;
(2)则第一轮的传染源有　　　　人,有　　　　人被传染;?
(3)第二轮的传染源有　　　　人,有　　　　人被传染;?
(4)两轮过后共有　　　　人患了流感.?
(5)你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗?



三、运用规律,解决问题
1.根据上一环节的解题规律乘胜追击,解决问题“如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?”
2.对于传播问题,教师引导学生进行规律的探索“对类似的传播问题的数量关系你有新的认识吗?”学生交流讨论.



3.应用新知:某种植物的主干长出若干树木的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分枝,主干、枝干和小分枝的总数是91,每个枝干长出多少小分枝?



4.教师引导学生找到“枝干”的问题与前面的“传播问题”有何异同?教导学生针对不同的实际问题,找到不同的解决思路,学会具体问题具体分析.



四、变式训练,深化提高
1.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,全组有多少名同学?



2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?


3.一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新数与原数的积为736,求原数.





五、反思小结,观点提高
1.用一元二次方程解决实际问题你认为要经过哪些过程?



2.比较以前的用一元一次方程解决实际问题,你认为我们这节课更要注意什么问题?谈谈你的感想.



3.本节课我们主要解决了一类实际问题,你能形象的定义一下吗?




参考答案
　　一、设计问题,创设情境
(一)前期回顾
1.解:设五年前乙的年龄是x岁,则
2x+5=x+5+15,
解得x=15,
那么x+5=15+5=20.
答:乙现在的年龄是20岁.
2.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是:审;设;列;解;答.
3.一元二次方程的解法一般有:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
(二)探究一
(5)列方程1+x+x(1+x)=121.
解方程,得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去)
平均一个人传染了10个人.
二、信息交流,揭示规律
(2)1;x.(3)1+x;x(1+x).(4)1+x+x(1+x).
三、运用规律,解决问题
1.解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,
列方程,1+x+x(1+x)=121,
解方程,得x1=10,x2=-12,
根据题意,舍x2=-12,
答:每轮传染中平均一个人传染了10个.
新增人数为10×121=1 210,三轮共传染了121+1 210=1 331人.
2.略
3.解:设每个枝干长出x个小分枝.
根据题意可列方程1+x+x2=91,
整理得x2+x-90=0,
解得x1=9,x2=-10(不符合题意,舍去).
答:每个枝干长出9个小分枝.
4.略
四、变式训练,深化提高
1.解:设全组有x名同学.
根据题意列方程x(x-1)=182,
解得x1=14,x2=-13(不符合题意,舍去).
答:全组有14名同学.
2.解:设有x个球队参加比赛.
根据题意列方程=15,
解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去).
答:应有6个球队参加比赛.
3.解:设原数十位上的数字为x,
根据题意列方程[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736,
解得x1=2,x2=3.
当x=2时,个位数字是3;当x=3时,个位数字是2.
答:原数是32或23.
五、反思小结,观点提高
略


第二十一章　一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程(第2课时)

学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求解,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.
2.熟练掌握“增长率”型问题的解题规律,会检验所得结果是否合理,培养分析问题、解决问题的能力.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.上节课我们学习了“连续传播”的问题,感受了“一传十,十传百,百传千千万”的威力.也学习了用一元二次方程来解决实际问题这一数学模型及在解决问题的过程中需要哪些必要的步骤.
2.今天我们继续来探究这类问题的新类型,请同学们思考四个小问题.
(1)某厂2015年1月份的总产量为100吨,平均每月增长20%,则二月份总产量为　　　　吨;三月份总产量为　　　　吨.(填具体数字)?
(2)某厂2015年1月份的总产量为500吨,设平均每月增长率是x,则二月份总产量为　　　　吨;三月份总产量为　　　　吨.(填含有x的式子)?
(3)某种商品原价是100元,平均每次降价10%,则第一次降价后的价格是　　　　元;第二次降价后的价格是　　　　元.(填具体数字)?
(4)某种商品原价是100元,平均每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格是　　　　元;第二次降价后的价格是　　　　元.(填含有x的式子)?
3.通过上面四个小问题的探究发现,请同学们小显身手试一试:
(1)某种商品原价是100元,经过两次提价后的价格是120元,求平均每次提价的百分率.设平均每次提价的百分率为x,下列所列方程中正确的是(　　)
A.100(1+x)2=120
B.100(1-x)2=120
C.120(1+x)2=100
D.120(1-x)2=100
(2)上海世博会的某种纪念品原价是168元,连续两次降价百分率x后售价为128元.下列方程中正确的是(　　)
A.168(1+x)2=128
B.168(1-x)2=128
C.128(1+x)2=168
D.128(1-x)2=168
二、信息交流,揭示规律
1.通过对比前面的题组练习,对于平均增长率(或平均减少率)问题你有什么发现?
我们会发现:




2.探究二:两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元,生产1吨乙种药品的成本是6 000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元,生产1吨乙种药品的成本是3 600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?
问题:你是如何理解下降额与下降率的?它们之间的联系与区别是什么?试举例说明.



3.在该题中,设甲种药品的年平均下降率是x,乙种药品的年平均下降率是y,请填写下表:
两年前的 成本 两年后的成本 年平均下降率 根据题意列出方程
甲种药品
乙种药品


　　三、运用规律,解决问题
1.某市第四中学初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,三年级结束有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.



2.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)



四、变式训练,深化提高
1.要求同桌之间一名同学编写一道关于增长率或下降率的实际问题,让另一人解决,并选择学生成果展示.
2.题组练习:
(1)某人在银行存了400元钱,两年后连本带息一共取款484元,设年利率为x,则列方程为　　　　,解得年利率是　　　　.?
(2)某商品连续两次降价10%后为m元,则该商品原价为(　　)
A.元　　　　　　B.1.12m元
C.元 D.0.81m元
(3)某商场2015年1月份的营业额为400万元,2月份的营业额比1月份增加10%,4月份的营业额达到633.6万元,求2月份到4月份营业额的平均增长率.
(4)随着国家的发展,社会的进步,张明家的年收入也在逐年增加,2012年的年收入为4万元,年收入连续增加两年,到2014年三年的收入共有20万元,求每年张明家的年收入平均增长率.





五、反思小结,观点提高
1.增长率问题中体现了怎样的规律?怎样用式子表达?
2.在解决本课出现的实际问题时你有什么收获?特别是在验根时值得注意的地方有哪些?







3.在本课的学习过程中还有哪些迷惑者难点呢?







参考答案
　　一、设计问题,创设情境
1.审　设　列　解　验　答
2.(1)120　144　(2)500(1+x)　500(1+x)2　(3)90　81　(4)100(1-x)　100(1-x)2
3.(1)A　(2)B
二、信息交流,揭示规律
1.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b.
2.(1)成本的年下降额=前一年成本-本年成本;
(2)成本的年下降率=(前一年成本-本年成本)÷前一年成本.
3.
两年前 的成本 两年后 的成本 年平均 下降率 根据题意 列出方程
甲种药品 5 000 3 000 x 5 000(1-x)2=3 000
乙种药品 6 000 3 600 y 6 000(1-y)2=3 600


　　解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,
依题意得:5 000(1-x)2=3 000,
解得:x1≈0.225x2≈1.775(舍去).
则甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y,
依题意得:6 000(1-y)2=3 600,
解得:x1≈0.225,x2≈1.775(舍去).
则乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
答:两种药品成本的年平均下降率相等.
　　三、运用规律,解决问题
1.解:设这两年中得奖人次的平均年增长率为x,
依题意得:48(1+x)2=183,
解得:x1≈0.95,x2≈-2.95(舍去).
答:这两年中得奖人次的平均年增长率为95%.
2.解:设每次降价的百分率为x,
依题意得:(1-x)2=0.5,
解得:x1≈0.293,x2≈1.707(舍去).
答:每次降价的百分率为29.3%.
四、变式训练,深化提高
(1)400(1+x)2=484　0.1
(2)C
(3)解:设2月份到4月份营业额的平均增长率为x,
依题意得:400(1+10%)(1+x)2=633.6,
解得:x1=0.2,x2=-2.2(舍去).
答:2月份到4月份营业额的平均增长率为20%.
(4)解:设每年张明家的年收入平均增长率为x,
依题意得:4(1+x)2=20,
解得:x1≈1.236,x2≈-3.236(舍去).
答:每年张明家的年收入平均增长率为123.6%.
五、反思小结,观点提高
总结与归纳:(1)若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b.
(2)在解决此类问题时,一定要注意是“平均增长(或下降)”,在原数与现数不确定的情况下可以用1或字母代替.
(3)下降率不能超过100%,增长率可以超过100%.
(4)要注意问题中的等量关系,切忌死套公式.



第二十一章　一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程(第3课时)

学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
2.能根据几何图形的周长、面积,通过建立一元二次方程来解决问题,会检验所得结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程进行描述.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:如图,是长方形养鸡场的平面示意图,一边靠墙(墙的长度不限),另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形养鸡场的长、宽分别是多少米?




问题2:如图,用长为18 m的篱笆,两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81 m2,应该怎么设计?





二、信息交流,揭示规律
前面我们知道了用一元二次方程这个数学模型来解决实际问题,比如“传染问题”“增长率问题”,通过前面的两个小题,我们还知道,几何图形的面积问题也可以用建立一元二次方程的方式来解决,下面我们一起来进行探究活动:

探究:要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
1.学生小组讨论分析过程:封面的长宽之比为　　　　　,中央矩形的长宽之比也应是　　　　,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是　　　　　.?
设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央矩形的长为　　　　　 cm,宽为　　　　 cm.?
2.尝试写出解题过程.



3.学生思考:方程的哪个根符合实际意义?为什么?



4.小组讨论:如果换一种设未知数的方法,是否可以更简单地解决上面的问题?请你试一试.



三、运用规律,解决问题
问题:某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少时,使图(1)(2)的草坪面积为540平方米.

　　注意:我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路).
图(2)解法二:设路宽为x米,则草坪的长为　　　　米,草坪的宽为　　　　米,根据题意得　　　　.?
四、变式训练,深化提高
1.用20 cm长的铁丝能否折成面积为30 cm2的矩形?若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.





2.要为一幅长29 cm,宽22 cm的照片配一个镜框,要求镜框的四边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度是多少?(精确到0.1 cm)





五、反思小结,观点提炼
通过本节课的学习:
我学会了……
使我感触最深的是……
我还感到疑惑的是……
参考答案
　　一、设计问题,创设情境
问题1:解:设篱笆的宽为x m,则长为(35-2x) m,
根据题意,可得方程:x(35-2x)=150,
解得:x1=10,x2=7.5.
当x=10时,(35-2x)=15;当x=7.5时,(35-2x)=20.
答:篱笆的长和宽分别是10米,15米或分别是7.5米,20米.
问题2:解:设篱笆的一边长x m,
根据题意,可得方程:x(18-x)=81,
解得:x1=x2=9.
答:篱笆的长和宽都是9米.
二、信息交流,揭示规律
1.9∶7　9∶7　9∶7　(27-18x)　(21-14x)
2.解:设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,
根据题意列方程得:(27-18x)(21-14x)=×27×21,
整理得:16x2-48x+9=0,
解方程得:x=.
x1=≈2.799,x2=≈0.201.
3.x2更合乎实际意义,如果取x1≈2.799,那么上边宽为9×2.799=25.191,不符合实际意义.
所以上下边衬的宽度约为9×0.201=1.809 cm.
左右边衬的宽度约为7×0.201=1.407 cm.
4.解法二:设正中央的矩形两边分别为9x cm,7x cm,
根据题意得9x·7x=×27×21,
解得x1=,x2=-(不合题意,舍去).
故上、下边衬的宽度为==≈1.809(cm).
左、右边衬的宽度为==≈1.407(cm).
三、运用规律,解决问题
解:(1)如图(1),设道路的宽为x米,则
(32-2x)(20-2x)=540,
解得:x1=25,x2=1,
其中x=25不符合实际意义,舍去.
所以图(1)道路的宽为1米.
(2)方法一:设道路的宽为x米,则
32×20-(32x+20x-x2)=540,
解得:x1=50,x2=2,
其中x=50不符合实际意义,舍去.
所以图(2)道路的宽为2米.
图(2)方法二:设路宽为x米,则草坪的长为(32-x)米,草坪的宽为(20-x)米,

根据题意得:(32-x)(20-x)=540,
解得:x1=50,x2=2,
其中x=50不符合实际意义,舍去.
所以图(2)道路的宽为2米.
四、变式训练,深化提高
1.解:设这个矩形的长为x cm,则宽为(-x) cm,则x(-x)=30,
即x2-10x+30=0,
这里a=1,b=-10,c=30,
所以b2-4ac=-20<0,
此方程无解.
所以用20 cm长的铁丝不能折成面积为30 cm2的矩形.
2.解:设镜框边的宽度是x cm,根据题意得:
(29+2x)(22+2x)=29×22,
解得:x1≈1.5,x2≈-27.0(不合题意,舍去).
所以镜框的宽度大约是1.5 cm.