高中数学人教A版选修4-4学案：坐标系与参数方程
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版选修4-4学案：坐标系与参数方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 104.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 08:30:59 | ||
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文档简介
坐标系与参数方程
一．平面直角坐标系中的伸缩变换：
特别地：将y=f（x）的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到
即
二．极坐标
1. 极坐标系：极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成。对于平面内任一点P，若设?OP?=?（?0），以Ox为始边，OP为终边的角为?，则点P可用有序数对（?，?）表示。
2. 极坐标与直角坐标的互化：
互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。
设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（?，?），则
3. 四类直线的极坐标方程：
（1）直线过极点且倾斜角为：
（2）直线过点且垂直于极轴：
（3）直线过且平行于极轴：
（4）若直线过点，且极轴到此直线的角为，
则它的方程为：
4. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：
（1）当圆心位于极点：，
（2）当圆心位于：
（3）当圆心位于：
三．参数方程
1. 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到的方程F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x，y间接地联系起来，
此时可得到方程组
2. 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。要注意整体代入法及参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。
3. 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=?(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=?(t)（或x=f(t)）。
4. 常见曲线的参数方程的一般形式：
（1）经过点P0（x0，y0），倾斜角为?的直线的参数方程为称为直线的
标准参数方程。
利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便。方法是：
由参数t的几何
（2）圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程
1. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为 。
2. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 。
3. 在极坐标系中, 曲线与的交点的极坐标为________。
4. 在平面直角坐标系中, 以为圆心为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点, 以为极轴
的极坐标系中对应的极坐标方程为 。
5. 直线与圆相交的弦长为___________。
6. 在极坐标系中, 曲线:与曲线:的一个交点在极轴上,
则_______。
7. 在平面直角坐标系中, 曲线和的参数方程分别为(为参数,)
和(为参数), 则曲线与的交点坐标为________。
8. 在极坐标方程中, 曲线C的方程是，过点作曲线C的切线, 则切线长为 。
9. 已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为的直线经过抛物线的焦点，
且与圆相切，则________。
10. 直线与圆相交的弦长为_________。
11. 在直角坐标中, 已知曲线: (t为参数)与曲线 :(为参数,)
有一个公共点在轴上, 则.
12. 在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数)和(为参数), 则曲线与的交点坐标为________.
13. 直线(为参数)与曲线(为参数)的交点个数为____________.
14. 在极坐标系中, 圆的圆心到直线的距离是
15. 在直角坐标系中, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与
曲线(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为__________.
16. 若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为 。
17. 在极坐标中, 已知圆经过点, 圆心为直线与极轴的交点,
则圆的极坐标方程为 。
18. 在直接坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（为参数）。
（1）已知在极坐标中，点的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值。
19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，
P点满足，点P的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.
20．在直角坐标中,圆,圆.
（1）在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,
并求出圆的交点坐标(用极坐标表示);
（2）求圆的公共弦的参数方程.
21. 已知曲线的参数方程是(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
（1）求点A,B,C,D的直角坐标;
（2）设P为上任意一点,求的取值范围.
22. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为几点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线上两点的极坐标分别为,圆的参数方程(为参数).
（1）设为线段的中点,求直线的平面直角坐标方程;
（2）判断直线与圆的位置关系.
一．平面直角坐标系中的伸缩变换：
特别地：将y=f（x）的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到
即
二．极坐标
1. 极坐标系：极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成。对于平面内任一点P，若设?OP?=?（?0），以Ox为始边，OP为终边的角为?，则点P可用有序数对（?，?）表示。
2. 极坐标与直角坐标的互化：
互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。
设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（?，?），则
3. 四类直线的极坐标方程：
（1）直线过极点且倾斜角为：
（2）直线过点且垂直于极轴：
（3）直线过且平行于极轴：
（4）若直线过点，且极轴到此直线的角为，
则它的方程为：
4. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：
（1）当圆心位于极点：，
（2）当圆心位于：
（3）当圆心位于：
三．参数方程
1. 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到的方程F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x，y间接地联系起来，
此时可得到方程组
2. 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。要注意整体代入法及参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。
3. 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=?(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=?(t)（或x=f(t)）。
4. 常见曲线的参数方程的一般形式：
（1）经过点P0（x0，y0），倾斜角为?的直线的参数方程为称为直线的
标准参数方程。
利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便。方法是：
由参数t的几何
（2）圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程
1. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为 。
2. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 。
3. 在极坐标系中, 曲线与的交点的极坐标为________。
4. 在平面直角坐标系中, 以为圆心为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点, 以为极轴
的极坐标系中对应的极坐标方程为 。
5. 直线与圆相交的弦长为___________。
6. 在极坐标系中, 曲线:与曲线:的一个交点在极轴上,
则_______。
7. 在平面直角坐标系中, 曲线和的参数方程分别为(为参数,)
和(为参数), 则曲线与的交点坐标为________。
8. 在极坐标方程中, 曲线C的方程是，过点作曲线C的切线, 则切线长为 。
9. 已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为的直线经过抛物线的焦点，
且与圆相切，则________。
10. 直线与圆相交的弦长为_________。
11. 在直角坐标中, 已知曲线: (t为参数)与曲线 :(为参数,)
有一个公共点在轴上, 则.
12. 在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数)和(为参数), 则曲线与的交点坐标为________.
13. 直线(为参数)与曲线(为参数)的交点个数为____________.
14. 在极坐标系中, 圆的圆心到直线的距离是
15. 在直角坐标系中, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与
曲线(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为__________.
16. 若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为 。
17. 在极坐标中, 已知圆经过点, 圆心为直线与极轴的交点,
则圆的极坐标方程为 。
18. 在直接坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（为参数）。
（1）已知在极坐标中，点的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值。
19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，
P点满足，点P的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.
20．在直角坐标中,圆,圆.
（1）在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,
并求出圆的交点坐标(用极坐标表示);
（2）求圆的公共弦的参数方程.
21. 已知曲线的参数方程是(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
（1）求点A,B,C,D的直角坐标;
（2）设P为上任意一点,求的取值范围.
22. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为几点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线上两点的极坐标分别为,圆的参数方程(为参数).
（1）设为线段的中点,求直线的平面直角坐标方程;
（2）判断直线与圆的位置关系.