高中数学人教A版必修一学案：1.3.1函数的单调性（一）

1.3.1 函数的单调性（一）单调性的判断与证明

基础知识：
一、定义
1．增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的______ 两个自变量的值，当_______时，都有______________,那么就说函数在区间上是增函数。
2．减函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的______ 两个自变量的值，当_______时，都有______________,那么就说函数在区间上是减函数。
3．单调区间——如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有_____________，区间叫做的单调区间。
二.、定义的两种等价形式：任意的，，
递增 0 0；
递减 0 0。
三、函数单调性、求单调区间的方法：
1．定义法；
利用定义证明函数在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
（1）任取x1，x2∈D，且x1（2）作差；
（3）变形、判断符号（通常将化为若干个因式的乘积形式）；
（4）下结论（即根据定义指出函数在给定的区间D上的单调性）。
3．观察图像法；
4．常用结论：
① 函数与函数当_______时，单调性相同;当______时，单调性相反；
② 若，则函数与具有______的单调性；
③ 若，则函数与具有______的单调性；
④ 对于函数可以总结为：增+增=_____;增-减=_____;减+减=____;减-增=____;
5．如果和单调性相同，那么单调 ；
如果和单调性相反，那么单调 。
四、证明函数在区间D上不单调，只需
五、函数单调性问题中一些需要注意的问题：
1．若函数在其定义域内若干个不连续的区间上具有相同的单调性其单调区间要分开写；
2、“在上单调”和“的单调区间是”的区别；
3、单调区间是函数定义域的子集，所以在处理对数函数的单调性问题和用导数求函数的单调区间的问题时，要注意求定义域。
习题：
1．函数的定义域为，且对其内任意实数均有，则
在上的单调性为__________
2．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）
A． B． C． D．无法确定
知识点一： 函数单调性的判断与证明
3．证明函数在上是增函数
4．证明函数在上是增函数
5．证明函数在定 义域上是减函数。
6．讨论函数在定义域上的单调性。
7.讨论函数在定义域上的单调性
8．利用定义判断函数在区间上的单调性。
9．函数对任意，有，并且当时，，
求证：是上的增函数；
10．已知定义在区间上的函数满足，且当时，。
（1）求的值； （2）判断函数的单调性；
知识点二：求复合函数的单调区间
11．已知函数与均是定义域为R的增函数，判断下列函数的单调性
（1）； （2）； （3）
12．函数的单调增区间为_________________。
13．在区间上为增函数的是 （ ）
A． B． C． D．
14．函数的单调递增区间是_____________.
15.函数的单调增区间是 。
16.函数的单调增区间是 。
17．函数的单调递增区间是_____________.
18. 讨论下列函数的单调性
（1） （2）
（3） （4）

知识点三:已知单调性待定系数的值或范围
19．若在上是减函数，则实数的范围是______________
20．函数是单调函数时，的取值范围 （ ）
A． B． C ． D．
21.若函数在上单调递减，则实数的取值范围_______________