数学高中人教A版必修3学案：3.3.2均匀随机数的产生Word版含解析

第三章　概　率
3.3　几何概型
3.3.2　均匀随机数的产生
学习目标
1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念;掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法;养成动手、动脑的良好习惯.
2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.复习提问:(1)什么是几何概型?(2)几何概型的概率公式是怎样的?(3)几何概型的特点是什么?
2.在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢?如果能,如何产生随机数?又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢?
二、信息交流,揭示规律
提出问题
(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式.
(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式.
(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率?对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢?
(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生[0,1]上的均匀随机数.
(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生[0,1]上的均匀随机数.
(6)[a,b]上均匀随机数的产生.
讨论结果:
(1)在一个试验中如果
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)
②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性)
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
古典概型任何事件的概率计算公式:　.?
(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型的基本特点:
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
②每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型中事件A的概率的计算公式:　.?
(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率.
(4)我们常用的是[0,1]上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0~1之间的均匀随机数(实数),方法如下:
/
试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0~1之间的均匀随机数进行随机模拟.
(5)①选定A1格,键入“=RAND( )”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]之间的均匀随机数.
②选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为[0,1]之间的均匀随机数.
(6)[a,b]上均匀随机数的产生:
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X=RAND,
然后利用伸缩和平移变换,X=X(b-a)+a就可以得到[a,b]上的均匀随机数,试验结果是[a,b]内任意实数,并且是等可能的.
这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.
三、运用规律,解决问题
【例1】 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
【例2】 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.
/
【例3】 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分(y=1和y=x2所围成的部分)的面积.
/
四、变式训练,深化提高
1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大?
2.利用随机模拟方法计算曲线y=
1
??
,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积.
点评:模拟计算的步骤:
(1)?
(2)?
(3)?
五、反思小结,观点提炼
布置作业
课本P142习题3.3 B组题.
参考答案
二、信息交流,揭示规律
P(A)=
??包含的基本事件的个数
基本事件的总数
P(A)=
构成事件??的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
三、运用规律,解决问题
【例1】 解:方法一:(1)选定A1格,键入“=RAND( )”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]之间的均匀随机数.
(2)选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为[0,1]之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加 6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.
/
(3)如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.
(4)选定D1格,键入“=A1-B1”;再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.
/
(5)选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY(D1:D50,-0.5)”,按Enter键,此数是统计D列中比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.
(6)选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.
/
方法二(见教材138页).
【例2】 方法一(见教材139页).
方法二:(1)用计算机产生两组[0,1]之间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;
(2)经平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5);
(3)数出落在圆x2+y2=1内的点(a,b)的个数N1,计算π=
4
??
1
??
(N代表落在正方形中的点(a,b)的个数).
【例3】 解:(1)利用计算机产生两组[0,1]区间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND;
(2)进行平移和伸缩变换,a=2(a1-0.5);
(3)数出落在阴影内(即满足00)的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=698,所以S≈
2
??
1
??
=1.396.(N代表落在矩形中的点(a,b)的个数).
四、变式训练,深化提高
1.解:方法一:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数,a1=RAND;
(2)经过伸缩变换,a=a1×3;
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N;
(4)计算频率fn(A)=
??
1
??
即为概率P(A)的近似值.
方法二:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里3和0重合).转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N,则fn(A)即为概率P(A)的近似值.
2.解:(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,a1=RAND,b=RAND;
(2)进行平移变换,a=a1+1;(其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标)
(3)数出落在阴影内的点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=689,
所以
??
1
≈
??
1
??
=0.689,即S≈0.689.
点评:(1)构造图形(作图);
(2)模拟投点,计算落在阴影部分的点的频率
??
??
;
(3)利用
??
??
≈P(A)=
??
??
??
??
算出相应的量.
五、反思小结,观点提炼
1.在区间[a,b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数.
2.利用几何概型的概率公式,结合随机模拟试验,可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题,体现了数学知识的应用价值.
3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是:构造一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区间内的均匀随机数,再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
4.利用计算机和线性变换Y=X(b-a)+a,可以产生任意区间[a,b]上的均匀随机数,其操作方法要通过上机实习才能掌握.