第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.
2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.
3.能用所学知识解决有关综合问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量OA=3i+2j,则向量OA的坐标是 ,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为 ;?
(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b= .?
二、信息交流,揭示规律
问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标来表示a·b呢?
问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?
2.平面内两点间的距离公式
(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|= .?
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式).?
3.向量垂直的判定
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b? .?
4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
cosθ=a·b|a|·|b|= .?
三、运用规律,解决问题
【例1】已知a=(-1,3),b=(3,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.
【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
【例3】在Rt△OAB中,OA=(2,3),OB=(1,k),求实数k的值.
四、变式演练,深化提高
练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足x·a=9与x·b=-4的向量x.
五、反思小结,观点提炼
本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?
布置作业
P108习题2.4A组第9,10,11题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)(3,2) a=i-2j (2)1
二、信息交流,揭示规律
问题2:设向量i,j分别为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),
x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2
=x1x2+y1y2,
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
从而可得
1.a·b=x1x2+y1y2.
问题3:2.(1)|a|=x2+y2
(2)(x2-x1)2+(y2-y1)2
(3)x1x2+y1y2=0
4.x1x2+y1y2x12+y12x22+y22 .
三、运用规律,解决问题
【例1】解:a·b=(-1)×3+3×(-1)=-23,
|a|=(-1)2+(3)2=2,
|b|=(3)2+(-1)2=2,
cosθ=a·b|a|·|b|=-232×2=-32,
因为0≤θ≤π,所以θ=5π6.
【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:
因为AB=(1,1),AC=(-3,3),
AB·AC=1×(-3)+1×3=0,
所以AB⊥AC,
所以△ABC是直角三角形.
【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则OA⊥OB,
所以2+3k=0可得 k=-23;
(2)若∠OAB=90°,则AO⊥AB,
而AO=(-2,-3),AB=OB?OA=(-1,k-3),
所以2-3(k-3)=0,从而 k=113;
(3)若∠OBA=90°,则BO⊥BA,
而BO=(-1,-k),BA=OA?OB=(1,3-k),
因为-1-k(3-k)=0,所以k=3±132 .
四、变式演练,深化提高
练习:解:设x=(t,s),
由x·a=9,x·b=-4?3t-s=9,t+2s=-4?t=2,s=-3,
所以x=(2,-3).
五、反思小结,观点提炼
1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;
3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;
4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.