数学高中人教A版必修4教案：2.5.1平面向量的应用举例Word版含解析

第二章　平面向量
2.5　平面向量应用举例
2.5.1　平面几何中的向量方法
/
学习目标
1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法——向量法和坐标法.
3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:若O为△ABC重心,则
????
+
????
+
????
=　　　　 .?
问题2:水渠横断面是四边形ABCD,
????
=
1
2
????
,且|
????
|=|
????
|,则这个四边形为　　　　.?
二、信息交流,揭示规律
问题3:(1)向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会?
(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.
三、运用规律,解决问题
【例1】证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
/
已知:平行四边形ABCD.
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:
(1)　;?
(2)　;?
(3)　.?
【例2】如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗?
/
四、变式演练,深化提高
练习:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
编题不只是教师的专利.请自己编题,并且加以解决.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获?
布置作业
课本P113习题2.5A组第1,2题.
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:
????
+
????
+
????
=0
问题2:等腰梯形
二、信息交流,揭示规律
问题3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图,平行四边行ABCD中,设
????
=a,
????
=b,则
????
=
????
+
????
=a+b(平移),
????
=
????
?
????
=a-b,
????
2
=b2=|AD|2(长度).向量
????
,
????
的夹角为∠DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.
/
三、运用规律,解决问题
【例1】证明:不妨设
????
=a,
????
=b,则
????
=a+b,
????
=a-b,|
????
|2=|a|2,|
????
|2=|b|2.
得|
????
|2=
????
·
????
=(a+b)·(a+b)
=a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.　①
同理|
????
|2=|a|2-2a·b+|b|2.　②
①+②得
|
????
|2+|
????
|2=2(|a|2+|b|2)=2(|
????
|2+|
????
|2).
所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【例2】解:设
????
=a,
????
=b,则
????
=a+b.
由
????
与
????
共线,因此,存在实数m,使得
????
=m(a+b).
又由
????
与
????
共线,因此存在实数n,使得
????
=n
????
=n(
1
2
b- a).
由
????
=
????
+
????
=
????
+n
????
,
得m(a+b)=a+n(
1
2
b-a).
整理得(m+n-1)a+(m-
1
2
n)b=0.
由于向量a,b不共线,
所以有
??+??-1=0,
??-
1
2
n=0,
解得
??=
1
3
,
??=
2
3
,
所以
????
=
1
3
????
.
同理
????
=
1
3
????
.
于是
????
=
1
3
????
.
所以AR=RT=TC.
四、变式演练,深化提高
练习:解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到
|F1|=
|??|
2cos
??
2
.
通过上面的式子我们发现,当θ由0°~180°逐渐变大时,
??
2
由0°~90°逐渐变大,cos
??
2
的值由大逐渐变小,因此,|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.