北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第23讲 可以化为一元一次方程的分式方程(提高)含答案

可化为一元一次方程的分式方程（提高）
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、下列关于x的方程，是分式方程的是（　　）
　 A． B． C． D．=1﹣
【答案】D．
【解析】解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；
D、方程分母中含未知数x，故是分式方程．
故选D．
【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
类型二、解复杂分式方程的技巧
2、解方程：．
【答案与解析】
解：方程的左右两边分别通分，
得，
∴ ，
∴ ，
∴ ，或，
由，解得，
由，解得．
经检验：，是原方程的根.
【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．
举一反三：
【变式】解方程．
【答案】
解：移项得，
两边同时通分得，
即，
因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．
所以，
，
，
，
∴ ．
检验：当时，．
∴ 是原方程的根．
类型三、分式方程的增根
3、（1）若分式方程有增根，求值；
（2）若分式方程有增根，求的值．
【答案与解析】
解：（1）方程两边同乘，得．
∴ ．
∴ ．
由题意知增根为或，
∴ 或．
∴ 或．
（2）方程两边同乘，得．
∴ ．
∴ ．
∵ 增根为，
∴ ．
∴ ．
【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．
举一反三：
【变式】是否存在实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．
【答案】
解：根据题意得：﹣=1+，
去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，
移项合并得：8x=﹣16，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，
所以不存在这样的实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．
类型三、分式方程的应用
4、（2019?娄底）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？网版权所有
【思路点拨】根据时间量之间的关系来列分式方程，即甲同学比乙同学早到2分钟．
【答案与解析】
解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得
+=﹣2，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【总结升华】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．
举一反三：
【变式】一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，慢车比快车早出发2小时，在离A地276公里处快车追上了慢车，慢车的速度是快车的，求慢车、快车的速度．
【答案】
解：设快车速度为 ，则慢车速度为
依题意，得，
去分母，得276×2＝276×3－4，所以，
经检验知是原方程的解，所以，
答：慢车、快车的速度分别为46 、69．
【巩固练习】
一.选择题
1．下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若分式方程的解为则等于（ ）
A． B．5 C． D．－5
3.（2019?海伦市校级模拟）若关于x的分式方程﹣1=无解，则m的值为（　　）
　 A．﹣l．5 B. 1 C.﹣l．5或2 D. ﹣0.5或﹣l．5
4．若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．2
C．1 D．－1
5．将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019?潍坊）若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
二.填空题
7．当＝______时，方程的解为1．
8．（2019春?抚州期末）已知关于x的方式方程=2﹣会产生增根，则m=　 　．
9．关于的方程的解为______．
10．（2019?咸宁）端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x元，列方程为　　 ．
11．某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，则这个人上山和下山的平均速度是　　 ．
12．若一个分数的分子、分母同时加1，得；若分子、分母同时减2，则得，这个分数是______．
三.解答题
13.已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围．
14. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?
15.（2019?沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
2. 【答案】B；
【解析】原式化简为，将代入解得.
3. 【答案】D；
【解析】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x=2（x﹣3）
（2m+1）x=﹣6
x=﹣=0或x=3，
x=3时，m=﹣，
或2m+1=0，解得m=﹣．
故m的值为：﹣或﹣．
故选D.
4. 【答案】B；
【解析】将代入，解得.
5. 【答案】A；
【解析】，所以.
6. 【答案】B
【解析】去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，
∵关于x的方程+=3的解为正数，
∴﹣2m+9＞0，解得：m＜，
当x=3时，x==3，解得：m=，故m的取值范围是：m＜且m≠．
二.填空题
7. 【答案】；
【解析】将代入，解得.
8. 【答案】-1；
【解析】解：去分母得：x﹣3=2x﹣4+m，
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：m=﹣1，
故答案为：﹣1．
9. 【答案】；
【解析】原方程化简为，所以.
10.【答案】+3=；
11.【答案】；
【解析】由题意上山和下山的平均速度为：.
12.【答案】；
【解析】设这个分数为，，，解之得：，所以这个分数是.
三.解答题
13.【解析】
解：方程两边同乘约去分母，
得．整理，得．
∵ ∴
解得且，
∴ 当且时，原方程有一个正数解．
14.【解析】
解：设乙工人每小时加工个零件，甲工人每小时加工个零件，
由题意，得：
整理得，，解得.
经检验，是原方程的根..
答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件.
15【解析】
解：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，
根据题意，得：，
去分母，得：690×3=690+4.6x，
解这个方程，得：x=300，
经检验，x=300是原分式方程的解，
答：高速铁路列车的平均速度为300km/h．