北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第25讲 平行四边形及其性质(提高)

平行四边形及其性质（提高）

【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” ．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
　　　　　
【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形．
　　　∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
　　　∵ □ABCD的周长是60．
　　　∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
　　　又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
　　　即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ②
　　　由①②有
　　　解得
　　　∴AB，BC的长分别是19和11．
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
举一反三：
【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4.求AE：EF：FB的值.
　　　　　
【答案】
解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB
∵CE为∠DCB的角平分线，
∴∠ECD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CEB，
∴BC＝BE
∵BC＝4，所以BE＝4
∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3
∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2
　　∴AE：EF：FB＝2：1：3.
2、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．
【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【答案与解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×40=80（cm）．∴平行四边形ABCD的周长为80cm．
【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】（2019?本溪）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△FDO和△EBO中∵
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10
∴BC+BE+CE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
3、（2019春?白云区期末）如图，口ABCD的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比△ABD的周长多10cm．∠BDE=35°．
（1）求∠C的度数；
（2）求AB和AD的长．
【思路点拨】（1）由于DE是AB边的垂直平分线，得到∠ADE=∠BDE=35°，于是推出∠A═55°，根据平行四边形的性质得到∠C=55°；（2）由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比△ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16（cm），于是求出结论．
【答案与解析】解：（1）∵DE是AB边的垂直平分线，
∴∠ADE=∠BDE=35°，
∴∠A=90°﹣∠ADE=55°，
∵口ABCD，
∴∠C=∠A=55°；
（2）∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，
∵口ABCD的周长为52，
∴AB+AD=26，
∵口ABCD的周长比△ABD的周长多10，
∴52﹣（AB+AD+BD）=10，
∴BD=16，
∴AD=16（cm），
∴AB=26﹣16=10（cm）．
【总结升华】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键．
4、如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB的中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．（1）请你猜想与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；（2）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．
【思路点拨】（1）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；（2）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可．
【答案与解析】
DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，
证明：连接BE，∵M为AB中点，∴AM=MB，在△PMA和△EMB中∵，∴△PMA≌△EMB（SAS），∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵四边形PADC是平行四边形，∴PA∥DC，PA=DC，∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．
（2）解：DE∥BC，DE=BC．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．
举一反三：
【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．（1）求证：∠ADE=∠CDF；（2）如果∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．
【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，DC∥AB，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，∴∠ADE=∠CDF．
（2）证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，∴∠DAP=∠BAP，∵DC∥AB，∴∠DPA=∠BAP，∴∠DAP=∠DPA，∴DA=DP，∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，∴△DAM≌△DPN，∴DM=DN，∵∠B=120°，∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，∴△DMN是等边三角形．
类型二、平行线性质定理及其推论
5、如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：__________________；（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有__________与△ABC的面积相等；（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．
【思路点拨】（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．
【答案与解析】
解：（1）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；
（2）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离是相等的，∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．
【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键．
【巩固练习】
一.选择题
1．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是( )．
A.8和16 B.10和16 C.8和14 D.8和12
2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．
A.1 B.2 C.3 D.无数
3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．
A.5 B.6 C.8 D.12
4. 国家级历史文化名城--金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）

A．红花，绿花种植面积一定相等
B．紫花，橙花种植面积一定相等
C．红花，蓝花种植面积一定相等
D．蓝花，黄花种植面积一定相等
5.（2019?应城市二模）如图，口ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
6．（2019春·无锡期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD和BC上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
二.填空题
7.（2019春?监利县期末）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为　 　．
8. 如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
9. 在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_______________.
10.（2019·甘肃模拟）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为_________.
11. 如图，在周长为20的ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为________.
12．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，，则△CEF的周长为______．
三.解答题
13.（2019?老河口市模拟）如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于E，F．
（1）作∠BCD的角平分线CF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）求证：AE=CF．
14. 如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．求证：S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH=2S△AFG．
15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；
（2）求证：A′E=CE．
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】B；
【解析】设对角线长为，需满足，只有B选项符合题意.
2．【答案】C；
【解析】分别以AB，BC，AC为对角线作平行四边形.
3．【答案】D；
【解析】过C点作CF垂直于BD的延长线，CF就是两短边间的距离，如图所示，∠C＝30°，CF＝.
4.【答案】C；
【解析】∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，∴一条对角线可以把一个平行四变形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄=S蓝，S绿=S红，S（紫+黄+绿）=S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫=S橙，∴A、B、D说法正确，再考查S红与S蓝显然不相等．故选C．．
5.【答案】C；
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵口ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故选：C．
6.【答案】D；
【解析】设平行四边形ABCD的面积是S，则S△CBE=S△CDF=S
由图可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）-S2=平行四边形ABCD的面积，
∴S= S△CBE+S△CDF+2+ S4+3-12，
即S=S+S+2+ S4+3-12，
解得S4=7．
二.填空题
7.【答案】2cm或8cm；
【解析】解：当M在b下方时，距离为5﹣3=2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3=8cm．
故答案为：2cm或8cm.
8.【答案】6；
【解析】易证△AEF≌△DCF，所以AF＝DF，由CF平分∠BCD，AD∥BC可证AB＝DC＝DF＝3，所以BC＝AD＝6.
9.【答案】20或22；
【解析】由题意，AB可能是4，也可能是3，故周长为20或22.
10.【答案】3；
【解析】，，
则=5-2=3.
11.【答案】10；
【解析】因为BO＝DO，OE⊥BD，所以BE＝DE，△ABE的周长为AB＋AE＋DE＝.
12．【答案】7；
【解析】可证△ABE与△CEF均为等腰三角形，AB＝BE＝6，CE＝CF＝9－6＝3，由勾股定理算得AG＝EG＝2，所以EF＝AF－AE＝5－4＝1，△CEF的周长为7.
二.解答题
13.【解析】
解：（1）如图；①以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，
②分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，
③作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF．
14.【解析】
证明：S△AFG=S平行四边形-（S△AGD+S△GFC+S△ABF），=S平行四边形-（S平行四边形AEPH+S平行四边形HPGD+S平行四边形FPGC+S平行四边形BEPF+S平行四边形AEPH），=S平行四边形ABCD?(2S平行四边形AEPH+S平行四边形HPGD+S平行四边形FPGC+S平行四边形BEPF)，=S平行四边形ABCD?(S平行四边形AEPH+S平行四边形ABCD)，=（S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH），∴S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH=2S△AFG．
15.【解析】
（1）解：等腰三角形有△DA′A，△A′BA，△EDB．（2）证明：∵平行四边形ABCD，
∴∠C=∠DAB，AD=BC，∵A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，∴△A′DB≌△ADB，∴AD=A′D，∠DA′B=∠DAB，∴A′D=BC，∠C=∠DA′B， 在△A′DE和△CEB中
，∴△A′DE≌△CEB，∴A′E=CE．