人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第02章 章末检测高二数学（理）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是
A． B．
C． D．
2．已知曲线，其中是常数，则下列结论正确的是
A．，曲线表示椭圆 B．，曲线表示双曲线
C．，曲线表示椭圆 D．，曲线表示抛物线
3．设分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则
A． B．
C． D．
4．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为
A． B．
C． D．
5．已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为
A．1 B．1或3
C．2 D．2或6
6．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是
A． B．
C． D．
7．已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
8．直线与椭圆C：交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为
A． B．
C． D．
9．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为
A． B．
C． D．
10．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，且，则双曲线的实轴长为
A．1 B．2
C．4 D．8
11．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则的方程为
A． B．
C． D．
12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是
A． B．
C． D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为________________．
14．已知点是椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为________________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的焦点，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率________________．
16．已知过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则________________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为坐标原点．证明：．

18．已知命题“存在，”，命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“关于的不等式成立”．
（1）若“且”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19．已知抛物线上的点到焦点的距离为．
（1）求，的值；
（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

20．已知椭圆C：经过点(1，)，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，求的值．

21．已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，，为坐标原点．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；
（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂直于轴的直线交于，，证明：为定值，并求出该定值．

22．已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右焦点，过作直线(与轴不重合)交椭圆于，两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求实数的取值范围．

参考答案
1．【答案】B
【解析】设等轴双曲线方程为(a＞0)，则，所以，故所求双曲线的标准方程为．故选B．
2．【答案】B
3．【答案】B
【解析】因为线段的中点在y轴上，所以与x轴垂直，且点P的坐标为(2，)，所以，则，．故选B．
4．【答案】A
【解析】易得双曲线方程的右顶点的坐标是(4，0)，所以所求抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为，则由，得，故所求抛物线的标准方程为．故选A．
5．【答案】B
【解析】设线段中点的横坐标为，则，因为线段的中点到直线的距离为1，所以，故选B．
6．【答案】D
【解析】双曲线的一条渐近线是，则 ①，抛物线的准线是，因此，即 ②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
7．【答案】C
【解析】过点F且倾斜角为45°的直线的斜率为1，一条渐近线方程为，由题意可得，即，结合及，解得．故选C．
8．【答案】C
9．【答案】C
【解析】由题意得，，，整理得，所以的渐近线方程为，即，即．故选C．
10．【答案】B
【解析】设等轴双曲线的方程为 ①，因为抛物线，，，所以，
所以抛物线的准线方程为，设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点分别为，，则，所以，将，代入①，可得，解得，所以等轴双曲线的方程为，其实轴长为，故选B．
11．【答案】A
【解析】由题意设，所以，整理得；因为的中点坐标为，所以；因为，所以，所以；因为，所以．所以的方程为．故选A．
12．【答案】D
13．【答案】
【解析】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，所以，，．
14．【答案】
【解析】不妨设点在第三象限，则，，又，所以，即，故椭圆的离心率．
15．【答案】
【解析】因为，所以由抛物线的定义可知，由双曲线的几何性质可知，，所以，即，，即，解得（负值舍去），所以双曲线的离心率．
16．【答案】
17．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），∴，
又，∴，，∴椭圆的标准方程为．
（2）设，
依题意可知直线的斜率一定存在，设线的斜率为，则的方程为，
联立方程，消去可得，∴，
∴，∴，
∴，∴．
18．【答案】（1）；（2）．
（2）若为真，则，即，
由是的必要不充分条件，可得是或的真子集，
所以或，即或，
所以实数的取值范围为．
19．【答案】（1），；（2）证明见解析，直线过定点．
【解析】（1）由抛物线的定义得，，解得，
所以抛物线的方程为，代入点，可解得．
（2）设直线的方程为，，，
联立，消元得，则，
由，可得，所以或（舍去），
即，解得，所以直线的方程为，
所以直线过定点．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可知，，解得，，
故椭圆C的标准方程为．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析，该定值为．
【解析】（1）因为动圆恒过且与直线相切，
所以点到与到直线的距离相等，所以圆心的轨迹的方程为，
联立，可得，
当时，一次方程只有一个根，不符合题意，
所以且，解得．
（2）设，，，直线：，即，
其与的交点，同理与的交点，
所以，
由（1）可知，则，代入上式得，
所以，为定值，该定值为．
22．【答案】（1）；（2）．
（2）由（1）知，设，，直线的方程为．
联立，可得，所以，
所以，故，
又，所以直线的斜率．
①当时，；
②当时，，即．
综合①②可知，直线的斜率的取值范围是．