人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第03章 章末检测高二数学（理）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间四边形中，
A． B．
C． D．
2．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝－2，则x的值是
A．6 B．5
C．4 D．3
3．与向量共线的单位向量是
A． B．
C．和 D．和
4．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为
A．3 B．2
C．1 D．
5．已知，，，，则向量与之间的夹角为
A． B．
C． D．以上都不对
6．已知、分别是四面体的棱，的中点，点在线段上，且，设，，，则
A． B．
C． D．
7．设平面上有四个互异的点，，，，已知，则是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为
A．a B．a
C．a D．a
9．已知若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为
A．0 B．
C．9 D．
10．正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是
A． B．
C． D．
11．已知空间四个点A(1，1，1)，B(－4，0，2)，C(－3，－1，0)，D(－1，0，4)，则直线AD与平面ABC所成的角为
A．30° B．45°
C．60° D．90°
12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别为_________________、_________________．
14．已知向量，，若，则_________________．
15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所成角的大小为_________________．
16．在下列命题中：
①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；
②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；
③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；
④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．
其中不正确的命题为_________________．（填序号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知是单位正交基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数a，b，c使a4＝aa1＋ba2＋ca3成立？如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，请说明理由．
18．如图所示,四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,试判断与是否共线.
19．如图，在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．


20．如图，已知PA垂直于正方形ABCD所成平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD2．
（1）求M，N两点之间的距离；
（2）求证：MN⊥平面PCD；
（3）求直线PA与MN所成的角．

21．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面．设．
（1）求二面角的大小；
（2）在上是否存在一点，使面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【解析】．故选C．
2．【答案】D
【解析】a·b＝－3＋2x－5＝－2，∴x＝3．故选D．
3．【答案】D
【解析】，∴与a共线的单位向量是(2，3，6)，故选D．
4．【答案】B
【解析】∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2．故选B．
5．【答案】D
【解析】由已知，得，则，由此可得．
从而．故选D．
6．【答案】B
7．【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，故是等腰三角形，故选B．
8．【答案】D
【解析】由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.显然A1C⊥平面AB1D1,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则易得平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),A(a,0,0),B(a,a,0),=(0,-a,0),则两平面间的距离为d=.
9．【答案】D
10．【答案】C
【解析】因为，所以
，所以，即
．故选C．
11．【答案】A
【解析】设平面ABC的法向量为，∵，，由及，得
令z＝1，得，，∴n＝(，，1)．，
设AD与平面ABC所成的角为θ，则，
∴θ＝30°．故选A．
12．【答案】B
【解析】过点P分别作平面α，β的垂线l1和l2，则l1与l2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P与直线l1，l2成65°角的直线有几条，与l1，l2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．故选B．
13．【答案】(1，－2，1) (－5，7，7)
【解析】依题意知，a＝(－1，1，3)，b＝(2，－3，－2)，则a＋b＝(1，－2，1)，a－2b＝(－1，1，3)－2(2，－3，－2)＝(－5，7，7)．
14．【答案】
【解析】由，及，可知存在实数满足，即，即且且，解得．故填．
15．【答案】60°
【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，
16．【答案】①②③④
【解析】①a，b所在的直线可能重合，所以①错；
②空间任意两个向量均共面，所以②错；
③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错；
④当a，b，c共面时，不成立，所以④错．
故不正确的命题为①②③④．
17．【解析】存在，理由如下：
假设a4＝aa1＋ba2＋ca3成立，
由已知可得a1＝(2，－1，1)，a2＝(1，3，－2)，a3＝(－2，1，－3)，a4＝(3，2，5)，
可得(2a＋b－2c，－a＋3b＋c，a－2b－3c)＝(3，2，5)，∴，
解得a＝－2，b＝1，c＝－3，故a4＝－2a1＋a2－3a3，
所以a，b，c存在，且a＝－2，b＝1，c＝－3．
19．【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，．
（1）易得，，
设平面的法向量为，则，即，
取，得，，
所以平面的一个法向量为．
又，所以，
所以，
显然不在平面内，所以平面．
20．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．
由题意易得，，，，，，
（1）由题易得，
故M，N两点之间的距离为．
（2）由题易得，．
因为，所以，即，
因为，所以，即，
又，所以平面．
（3）由题易得，
因为，所以，
所以，
故直线与所成的角为．
21．【解析】（1）由已知可得，，所以平面．
又平面，故平面平面．
（2）过作，垂足为，
由（1）知平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以，，，．
设是平面的法向量，则，
即，所以可取．
设是平面的法向量，同理可取，
所以，
易知二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
22．【解析】（1）设与交于，设，如图所示建立空间直角坐标系，
，