人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.1 命题及其关系高二数学（理）

知识
1．命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.
（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.
（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.
2．四种命题
（1）原命题与逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.
（2）否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.
（3）逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.
也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.
提示：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.
3．四种命题间的相互关系
一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.
注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.
（3）互为逆否命题的两个命题同真同假，可以用此来检验写出的命题是否正确，或证明原命题（或逆否命题）为真命题等.
知识参考答案：
1．陈述句
2．（1）结论和条件 （2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的否定
3．（1）相同的 （2）没有关系
重点
重点
四种命题及其关系，命题真假的判断
难点
涉及命题真假判断的多选型试题
易错
对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提
1．命题的概念及真假判断
判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．
命题真假的判断方法：
（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.
【例1】下列命题中的假命题是
A．在中，若，则
B．函数为奇函数
C．
D．对于任意的，直线与圆都相交
【答案】C
【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
（1）能被9整除的数是偶数;
（2）当x2+(y-1)2=0时,有x=0,y=1;
（3）如果a>1,那么函数f(x)=(a-1)x是增函数.
【解析】（1）若一个数能被9整除,则这个数是偶数.它是假命题.
（2）若x2+(y-1)2=0,则x=0,y=1.它是真命题.
（3）若a>1,则函数f(x)=(a-1)x是增函数.它是假命题.
2．四种命题
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.
（1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.
（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.
（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.
【例3】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：
①负数小于零.
②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.
【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.
逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题.
否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.
逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.
②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.
逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.
否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.
逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.
【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”.
3．四种命题间的相互关系
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
【例4】判断命题“若a>0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.
4．由命题的真假性求参数的值
对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件.
【例5】命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题， 的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】命题的逆命题：若，则，故；
命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，即.
故实数的取值范围是.
5．改写命题时，忽略大前提
【例6】将命题“当时，函数的值随的减小而减小”写成“若，则”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.
【错解】“若，则”的形式：若，则函数的值随的减小而减小.
逆命题：若函数的值随的减小而减小，则.
否命题：若，则函数的值随的不减小而不减小.
逆否命题：若函数的值随的不减小而不减小，则.
?【错因分析】原命题有两个条件：和减小，其中是大前提，将原命题改写为“若，则”的形式时，要把置于“若”字的前面，把减小作为条件.
【正解】“若，则”的形式：当时，若减小，则函数的值也减小.
逆命题：当时，若函数的值减小，则也减小.
否命题：当时，若不减小，则函数的值也不减小.
逆否命题：当时，若函数的值不减小，则也不减小.
【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若，则”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若，则”.
（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.
基础训练
1．命题“若,则”的逆命题是
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
2．下列语句中是命题的是
A．周期函数和是周期函数吗？
B．
C．
D．梯形是不是平面图形呢？
3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中
A．假命题与真命题的个数相同
B．真命题的个数是奇数
C．真命题的个数是偶数
D．假命题的个数是奇数
4．下列命题中为真命题的是
A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题
C．命题“若，则”的逆否命题 D．命题“若，则”的逆命题
5．原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A．0 B．1
C．2 D．4
6．命题“若，则”的逆否命题是__________．
7．命题“若且，，则”的条件为__________，结论为__________.
8．若命题“满足”为真命题，则实数的取值范围是__________.
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
(1)若一个三角形的两条边相等,则这两条边所对的角相等;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d;
(4)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根.
能力提升
11．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是
A．原命题为假，逆命题为真 B．原命题为真，逆命题为假
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
12．命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根不等于0，则a是正数”的
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定命题
13．能够说明“设是实数，若，则”是假命题的一个实数的值为________．
14．已知a,b∈R,求证:若a3+b3+3ab≠1,则a+b≠1.
15．已知两个命题，如果对任意的与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.
真题练习
16．（2019山东模拟）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是
A．若方程有实根，则
B．若方程有实根，则
C．若方程没有实根，则
D．若方程没有实根，则
17．（2019陕西模拟）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
18．（2018北京）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
参考答案
1
2
3
4
5
11
12
16
17
C
B
C
D
C
B
A
D
A
1．【答案】C
【解析】因为将原命题的结论当条件，条件当结论即可到其逆命题，所以命题“若,则”的逆命题是“若,则”，故选C．
2．【答案】B
【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B满足.
3．【答案】C
【解析】一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C．
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，当c=0时显然不成立，所以是假命题；
由于原命题是假命题，所以其逆否命题也是假命题；
逆命题为：若ac2>bc2，则a>b,是真命题；
由于逆命题和否命题互为逆否命题，所以其真假性是一样的，所以其否命题也是真命题.
所以在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，故答案为C.
6．【答案】若，则
【解析】“若，则”的逆否命题是：若，则.
7．【答案】且，　
【解析】由命题的定义易得.
8．【答案】
【解析】即，即，解得.
实数的取值范围是.
9．【解析】(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数.真命题．
(2)若，则且.真命题．
(3)已知，为正整数，若，则且.假命题．
10．【解析】(1)逆命题:若一个三角形的两个角相等,则这两个角所对的边相等.显然该命题是真命题.
否命题:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角不相等.由于原命题的逆命题是真命题,所以原命题的否命题也是真命题.
逆否命题:若一个三角形的两个角不相等,则这两个角所对的边不相等.由于原命题为真命题,所以其逆否命题也是真命题.

(3)逆命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d.是假命题.
否命题:已知a,b,c,d是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d.是假命题.
逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.是真命题.
(4)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1.是假命题.
否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根.是假命题.
逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1.是真命题.
11．【答案】B
【解析】逆否命题为：a，b都小于1，则a+b≤2，是真命题，所以原命题是真命题.
逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，此时a+b=2+（﹣2）=0，与a+b＞2矛盾，故为假命题.故选B．
12．【答案】A
【解析】命题“正数的平方根不等于0”的条件为，结论为；
命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的条件为，结论为.
∴命题“正数的平方根不等于0”是命题“若一个数的平方根不等于0，则是正数”的逆命题.故选A．
13．【答案】2
【解析】因为，所以，
等号成立的条件为，故当时函数值等于3.
此时不满足题干.故答案为2.
14．【解析】原命题证明较困难，故可改证它的等价命题(逆否命题)：已知a,b∈R，若，则a3+b3+3ab=1.
因为,所以,
所以原命题成立.

16．【答案】D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.
17．【答案】A
【解析】由为递减数列，所以原命题为真命题.
逆命题：若为递减数列，则，.
若为递减数列，则，即，所以逆命题为真命题.
因为逆否命题的真假和原命题的真假相同，否命题的真假和逆命题的真假相同，所以逆否命题、否命题也为真命题.故选A.
18．【答案】 （答案不唯一）