人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.2 充分条件与必要条件高二数学（理）

知识
1．充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作_____，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq.此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
2．充要条件
一般地，如果既有，又有，就记作_______.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果，那么p与q互为充要条件.
注意：（1）判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件.
（2）充分条件、必要条件具有传递性.
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
从集合的观点看，设集合，
若，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
若，则p是q的必要条件或q是p的充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若，且，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识参考答案：
1．
2．
重点
重点
充分条件、必要条件的判断
难点
充分条件、必要条件概念的理解，充要条件的证明问题
易错
易忽视A是B的充分不必要条件（A?B且）与A的充分不必要条件是B（B?A且AB）两者的不同
1．充分条件与必要条件的判断
从逻辑关系上看，（1）若p?q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
（2）若pq，但q?p，则p是q的必要不充分条件；
（3）若，且，则p是q的充要条件；
（4）若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
充分条件、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法.
（2）等价转化法：利用p?q与，q?p与，p?q与的等价关系.
（3）集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系.当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解题.
（4）特殊值法：对于选择题，可以取特殊值来验证充分性或必要性不成立，但这种方法不适用于证明题.
【例1】设{}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【名师点睛】本题主要考查数列、充分条件与必要条件的相关问题，将数列、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来，体现了综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.
【例2】设，则“，且”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A

2．充要条件的证明
对于充要条件的证明问题：
（1）正确找到题目所包含的条件和结论；
（2）证明时结构要清晰，要对充分性和必要性分别进行证明．
【例3】已知a,b,c是的三条边，证明:是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.
【解析】（1）充分性(a2+b2+c2=ab+ac+bc?为等边三角形):
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,
∴a=b,a=c,b=c,∴a=b=c,
∴为等边三角形.
（2）必要性(为等边三角形?a2+b2+c2=ab+ac+bc):
∵a=b=c,∴a2+b2+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,
∴a2+b2+c2=ab+ac+bc.
综上知,所证结论成立.
【名师点睛】在证明时，要注意由“条件结论”是证明命题的充分性，由“结论条件”是证明命题的必要性.
3．条件的探求
在求某结论的充要条件时，可以从充分性和必要性两方面入手，得到结论的一致性，即为充要条件；也可以将原命题等价转化，获得充要条件.在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出结论的充要条件，然后将所得条件的范围缩小或扩大即可得到所需要的结论.
【例4】设，则使成立的必要不充分条件是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】求解对数不等式可得，结合选项可得，使成立的必要不充分条件是.故选B.
【例5】已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
【名师点睛】对于不等式（组）的转化必须是等价的，否则求的就不是充要条件.由“
”，但反过来“”，例如取，有，但没有保证两个根都大于1，所以仅是两个根都大于1的必要条件，不是充分条件.
4．根据条件求解参数的值或取值范围
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据充分条件和必要条件，得到相应的逻辑关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用.
【例6】设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应的集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应的集合与对应的集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应的集合互不包含．
【例7】已知集合
（1）若，求实数的值；
（2）若命题命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，；
当时，，显然，
故时，.
【名师点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解步骤一般为：①首先要将，等价化简；②根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式（组）；③求出参数的值或取值范围．
5．混淆充分条件与必要条件
【例8】设，则“”是“”的]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【错解】选A.
【错因分析】充分条件、必要条件的概念混淆不清.
【正解】若，则，但当时也有，故本题选B．
【名师点睛】“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
基础训练
1．小思法说“浮躁成绩差”,他这句话的意思是:“不浮躁”是“成绩好”的
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
2．下列说法正确的是
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．是的必要条件 D．是的充要条件
3．命题，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
4．使不等式成立的一个必要不充分条件是
A． B．
C． D．
5．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．中，是的 条件（选填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
7．已知“”是“”的充分不必要条件,且,则的最小值是???????? .
8．下列各小题中,p是q的什么条件?
(1)p:m<-2或m>6,q:函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
(2)p: =1,q:y=f(x)是偶函数;
(3)p:cos α=cos β,q:tan α=tan β;
(4)p:A∩B=A,q:．
9．求证:“函数f(x)=x2+|x+a|+1是偶函数”的充要条件是“a=0”.
10．已知条件：，条件：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
能力提升
11．给定两个命题p，q，若是q的必要而不充分条件，则p是的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．“”是“函数在区间上有零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知函数与（且）的图象关于直线对称，则“是增函数”的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
14．设甲：，乙：，那么甲是乙的 条件．（填写：充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要或者充要）
15．已知实数p：x2﹣4x﹣12≤0，q：(x﹣m)(x﹣m﹣1)≤0.
(1)若m=2，那么p是q的什么条件；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．已知命题关于的方程有实数根，命题．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
真题练习
17．（2019浙江模拟）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2018天津）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（2019北京模拟）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2018北京）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案
1
2
3
4
5
11
12
13
17
18
19
20
B
B
B
B
A
A
A
C
A
A
B
A
1．【答案】B
【解析】由“浮躁成绩差”可知,“浮躁”是“成绩差”的充分条件,所以由互为逆否命题的真假可知,“不浮躁”是“成绩好”的必要条件.
2．【答案】B
3．【答案】B
【解析】由题意命题，命题，因为是成立的充分条件，所以，即．故选B．
4．【答案】B
【解析】因为，且，但，所以选B.
5．【答案】A
【解析】由题意，当时，，则；
而当时，根据对数函数的性质可得或，
所以是成立的充分不必要条件，故选A．
6．【答案】充分不必要
【解析】，所以是的充分不必要条件.
7．【答案】
【解析】由可得,因为“”是“”的充分不必要条件,所以,又因为,所以的最小值是.
9．【解析】充分性:若a=0,则f(x)=x2+|x|+1(x∈R).
又f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数.
必要性:若f(x)=x2+|x+a|+1是偶函数,则f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x+a|+1=x2+|x+a|+1,
所以x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1,
从而|x-a|=|x+a|,因此(x-a)2=(x+a)2,
整理得ax=0.
因为x∈R,所以a=0.
综上,得“函数f(x)=x2+|x+a|+1是偶函数”的充要条件是“a=0”.
10．【解析】，即或，
，
∵是的必要不充分条件，∴，
∴，∴，即.
11．【答案】A
12．【答案】A
【解析】根据零点存在性定理可知，若在区间上有零点，则，
即，即或，
“”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件,故选A．
13．【答案】C
【解析】因为函数与（且）的图象关于直线对称，所以.
选项A,是“是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.
选项B,是“是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.
选项C, 是“是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.
选项D, 是“是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.
故答案为C．
14．【答案】必要不充分
【解析】由乙：两式相加得，两式相乘得，所以乙成立能推出甲成立.
在甲中取，则不符合乙的要求，所以甲成立不能推出乙成立，因此甲是乙的必要不充分条件.

16．【解析】解法一：（1）当命题是真命题时，满足，
则，解得或.
∵是真命题，∴是假命题，即.
故实数的取值范围是.
（2）是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.
故实数的取值范围是.
解法二：（1）命题：关于的方程没有实数根，
∵是真命题，∴满足，
即，解得.
故实数的取值范围是.
（2） 由（1）可得当命题是真命题时，实数的取值范围是，
是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.
故实数的取值范围是.
17．【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.
由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
20．【答案】A
【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.